Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
[pic],
вероятность того, что в момент времени t прибор находится в состоянии k и в
ИПВ находится i заявок.
Рассмотрим вероятности переходов из состояния системы [pic] в
произвольный момент времени t в состояние [pic] за бесконечно малый
интервал времени [pic].
1. Пусть система находится в состоянии [pic], то есть в ИПВ находится
i заявок и прибор свободен, за интервал времени [pic] состояние системы
может измениться таким образом (рис. 1.2):
а) с вероятностью [pic] из входящего потока требований поступит новая
заявка, которая немедленно займет прибор и начнет обслуживание, тогда
система в момент времени [pic]будет находиться в состоянии [pic];
б) с вероятностью [pic] к прибору обратится одна из i заявок, находящихся в
ИПВ и система перейдет в состояние [pic];
в) с вероятностью [pic] состояние системы не изменится.
2. Пусть система в момент времени t находится в состоянии [pic], то
есть прибор занят обслуживанием заявки и в ИПВ находится i требований, за
интервал времени [pic]возможны следующие переходы (рис. 1.3):
а) с вероятностью [pic] прибор успешно завершит обслуживание, и в момент
времени [pic]система будет находиться в состоянии [pic];
б) с вероятностью [pic] в систему поступит новое требование из входящего
потока и произойдет конфликт. Как вновь поступившая, так и заявка с
прибора перейдут в ИПВ, и начнется интервал оповещения о конфликте,
следовательно, система перейдет в состояние [pic];
в) с вероятностью [pic] к прибору обратится одна из заявок с ИПВ,
произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно,
система в момент времени [pic]будет находиться в состоянии [pic];
г) с вероятностью [pic] состояние системы не изменится.
3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии [pic].
Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины [pic](рис. 1.4):
а) с вероятностью [pic] к прибору обратится заявка из входящего потока,
которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени [pic] система будет в
состоянии [pic];
б) с вероятностью [pic] интервал оповещения о конфликте завершится, и
система перейдет в состояние [pic];
в) с вероятностью [pic] состояние системы не изменится.
Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости
[pic].
Рис. 1.2 – Возможные переходы из состояния [pic]
Рис. 1.3 – Возможные переходы из состояния [pic]
Рис. 1.4 – Возможные переходы из состояния [pic]
Таким образом, можно записать систему конечно-разностных уравнений для
вероятностей [pic] состояний системы:
[pic]
[pic]
[pic]
следовательно, в нестационарном режиме, эти вероятности удовлетворяют
системе дифференциально-разностных уравнений
[pic],
[pic], (1.1)
[pic],
где [pic] [pic] [pic] [pic],
решить которую практически невозможно, но можно решить асимптотически в
условиях «большой загрузки», т.е. при [pic], [pic], где [pic]пропускная
способность исследуемой сети связи (верхняя граница множества тех значений
загрузки [pic], для которых в системе существует стационарный режим).
Рассмотрим исходную систему уравнений (1.1) и произведем в ней замену
переменных: [pic], [pic], [pic], [pic]. В результате замены производится
переход от дискретной переменной [pic] к непрерывной переменной [pic]. В
новых обозначениях производная равна [pic].
Тогда систему (1.1) перепишем
[pic],
[pic], (1.2)
[pic]
Получим вид решения системы (1.2), которую будем решать в три этапа.
1 этап. В уравнениях (1.2) устремим [pic] и обозначим [pic], заметим что,
[pic]. Будем иметь
[pic],
[pic], (1.3)
[pic].
Выразим [pic] через [pic] и получим
[pic],
[pic], (1.4)
[pic].
где [pic] [pic] – асимптотическая плотность распределения вероятностей
нормированного числа заявок в ИПВ.
Введем обозначения
[pic] (1.5)
([pic] - это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор
находится в состоянии k). Из системы (1.3) следуют равенства, связывающие
[pic], [pic], [pic] и выглядят так
[pic]
[pic] (1.6)
[pic].
Найдем вид функции [pic]. Для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап. Неизвестные функции [pic] будем искать с точностью до [pic] в
следующем виде
[pic], (1.7)
Определим вид функций [pic], для этого в системе уравнений (1.2)
разложим функции с аргументом [pic] в ряд по приращению аргумента [pic]
(ограничиваясь двумя слагаемыми), будем иметь
[pic],
[pic], (1.8)
[pic]
В полученные уравнения подставим [pic] в форме (1.7), заменим [pic]
разностью [pic], сумму [pic] на G и не учтем слагаемые, имеющие порядок
[pic]. Получим
[pic],
[pic] (1.9)
[pic]
Теперь приведем подобные слагаемые, учтем равенства (1.6), и получим
неоднородную линейную систему алгебраических уравнений для нахождения
неизвестных функций [pic] такого вида
[pic],
[pic], (1.10)
[pic]
Нетрудно заметить, что ранг матрицы однородной системы алгебраических
уравнений, соответствующей (1.10) равен двум. Следовательно, для того,
чтобы система была разрешима, необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы
этой системы был равен двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство
[pic]. (1.11)
С учетом того, что
[pic]равенство (1.11) принимает вид
[pic]. (1.12)
Равенство нулю производной противоречит смыслу задачи, следовательно
[pic], т. е. пропускная способность исследуемой сети связи равна
асимптотической вероятности того, что обслуживающий прибор «обслуживает»,
на рис. 1.5 продемонстрирован этот результат.
[pic]
Рис. 1.5
Таким образом, мы выяснили, что система (1.10) разрешима. Ее решение
можно записать так
[pic],
[pic] - произвольная функция, (1.13)
[pic].
Перейдем к третьему этапу.
3 этап. Запишем уравнения системы (1.2) с точностью до [pic], получим
[pic],
[pic] (1.14)
[pic]
[pic]
Как и на втором этапе в полученные уравнения подставим [pic] в форме
(1.7), заменим [pic] разностью [pic], сумму [pic] на G и не учтем
слагаемые, имеющие порядок выше [pic], получим
[pic]
[pic](1.15)
[pic]
[pic]
Просуммировав все уравнения системы (1.15), получим равенство для
нахождения [pic]
[pic] (1.16)
Подставляя выражения для [pic], найденные на втором этапе, для [pic]
получим уравнение Фоккера-Планка
[pic], (1.17)
где
[pic]
Решим уравнение (1.17) с помощью преобразования Лапласа по x. Левую и
правую части уравнения умножим на [pic] и проинтегрируем. С учетом
обозначения [pic] и свойств этой функции уравнение (1.17) приобретет вид
[pic] (1.18)
Таким образом, мы перешли от уравнения Фоккера-Планка с постоянными
коэффициентами к обыкновенному дифференциальному уравнению, решение
которого с точностью до неизвестных [pic], [pic] и [pic] записывается
следующим образом
[pic](1.19)
Для того чтобы получить окончательное решение уравнения (1.17) нужно
провести дополнительное исследование, которое бы показало поведение
исследуемого процесса в окрестности нуля. Используя асимптотику [pic], это
не удается сделать.
Предположим, что сеть связи функционирует в стационарном режиме,
тогда (1.17) перепишется в виде
[pic] (1.20)
Следовательно, в стационарном режиме асимптотическое распределение
вероятностей нормированного числа заявок в источнике повторных вызовов
подчиняется экспоненциальному закону с параметром [pic] и [pic] имеет вид
[pic] (1.21)
2. Исследование неоднородной нестационарной сети случайного доступа с
динамическим протоколом в условиях перегрузки
Рассмотрим сеть связи, описанную в разделе 1, в которой интенсивность
входящего потока зависит от времени и равна [pic], где Т – некоторый
интервал времени, в течение которого функционирует сеть связи. Структура
сети изображена на рис. 2.1.
Рис. 2.1 – Модель системы массового обслуживания
В нестационарном режиме распределение
[pic]
удовлетворяют системе дифференциально-разностных уравнений вида
[pic]
[pic] (2.1)
[pic]
где [pic], [pic], [pic], [pic].
Замечание: система уравнений (2.1) получена аналогично системе уравнений
(1.1). Вероятности переходов для состояний системы совпадают с
точностью до замены [pic].
Систему (2.1) будем решать в условиях перегрузки, то есть при [pic].
Первое приближение
В системе уравнений (2.1) произведем замену переменных: [pic]. В
результате такой замены производится переход от дискретной пере
| |  скачать работу |
Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа |
