Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
менной [pic]
к непрерывной переменной [pic], от t перешли к [pic], причем [pic] такое,
что [pic]. После замены производная равна [pic].
Тогда уравнения (2.1) перепишем
[pic]
[pic] (2.2)
[pic]
Решим систему уравнений (2.2) в два этапа.
1 этап. Считая [pic] и предполагая, что [pic] будем иметь
[pic]
[pic] (2.3)
[pic].
Выразим [pic] через функцию [pic] и получим
[pic]
[pic] (2.4)
[pic]
где [pic] [pic]асимптотическая плотность распределения нормированного числа
заявок в источнике повторных вызовов.
Обозначим
[pic] (2.5)
([pic] - это асимптотическая вероятность того, что обслуживающий прибор
находится в состоянии k). Заметим, что из системы (2.3) следуют равенства
связывающие [pic], [pic] и [pic]
[pic]
[pic] (2.6)
[pic].
Найдем вид функции [pic], для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.2) все функции с
аргументом [pic] разложим в ряд по приращению аргумента [pic],
ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим
[pic]
[pic] (2.7)
[pic]
Просуммируем левые и правые части уравнений системы (2.7) и получим
равенство
[pic]. (2.8)
С учетом того, что
[pic]
равенство (2.8) принимает вид
[pic]. (2.9)
Уравнение (2.9) является однородным линейным уравнением с частными
производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим уравнение
[pic],
его решение [pic], тогда [pic]
Общее решение уравнения (2.9) имеет вид
[pic], (2.10)
где [pic] - произвольная дифференцируемая функция, аналитическое выражение
которой найдем из начальных условий.
Пусть распределение в начальный момент времени [pic] где [pic]
некоторая плотность распределения. Тогда [pic]следовательно [pic]. Возьмем
в качестве начальной плотности распределения [pic], где [pic] - дельта-
функция Дирака, а [pic], [pic] - число заявок в источнике повторных вызовов
в начальный момент времени.
Таким образом [pic], из свойств функции Дирака следует, что [pic].
То есть мы получили, что [pic], [pic] имеет смысл асимптотического
среднего.
Из приведенных рассуждений вытекает еще одно важное следствие, а
именно
[pic] имеет место [pic], тогда [pic] (отрицательная функция [pic]
противоречит смыслу задачи). В нашем случае [pic] совпадает с пропускной
способностью системы.
Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать распределение
отклонения от асимптотического среднего.
Второе приближение
В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных [pic].
Заметим, что в новых обозначениях производная по времени [pic] равна
[pic]. С учетом этого система (2.1) примет вид
[pic]
[pic] (2.11)
[pic]
Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2), но
проводится в три этапа.
1 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.13) сделаем предельный
переход при [pic] и предположим, что [pic], получим
[pic]
[pic] (2.12)
[pic].
Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений (2.3).
Введем функцию [pic] и выразим через нее [pic], получим
[pic]
[pic] (2.13)
[pic]
где [pic]асимптотическая плотность распределения отклонения числа заявок в
источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.
2 этап. Функции [pic] будем искать с точностью до [pic] в форме
[pic] (2.14)
Найдем вид функций [pic], [pic] и [pic]. Для этого в системе
дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом [pic] разложим в
ряд по приращению аргумента [pic], ограничимся слагаемыми порядка [pic].
Получим
[pic]
[pic] (2.15)
[pic]
В уравнения (2.15) подставим [pic] в форме (2.14), приведем подобные
и получим систему неоднородных линейных алгебраических уравнений
относительно [pic] вида
[pic],
[pic], (2.16)
[pic]
Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть зависимость
и ранг матрицы системы равен, следовательно, чтобы решение уравнений
(2.16)существовало, необходимо выполнение равенства
[pic] (2.17)
Из однородного линейного уравнения с частными производными первого
порядка (2.9) мы знаем, что [pic]. Таким образом, можно сделать вывод, что
система (2.16) разрешима. При условии, что функция [pic] известна, решение
можно записать в виде
[pic],
[pic] (2.18)
Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию [pic]. Перейдем к
третьему этапу.
3 этап. В системе дифференциальных уравнений (2.11) все функции с
аргументом [pic] разложим в ряд по приращению аргумента [pic],
ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим
[pic]
[pic] (2.19)
[pic]
Теперь подставим в уравнения (2.19) [pic] в форме (2.14) и
просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь
[pic] (2.20)
Подставляя вместо [pic] и [pic] их выражения, полученные на втором
этапе получим для [pic] уравнение Фоккера-Планка
[pic], (2.21)
где
[pic]
Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии [8]
является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым средним
и дисперсией
[pic]. (2.22)
3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим
протоколом в условиях большой задержки
Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в разделе 1,
в условиях большой задержки. В этом случае удобнее рассматривать случай,
когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна [pic]. Структура такой СМО
имеет вид рис. 3.1.
Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания
Вероятности переходов из состояния системы [pic] в произвольный момент
времени t в состояние [pic] за бесконечно малый интервал времени [pic]
показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.
Выпишем уравнения статистического равновесия для нестационарного
распределения процесса [pic], описывающего функционирование сети
[pic]
[pic] (3.1)
[pic]
где [pic]
Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния [pic]
Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния [pic]
Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния [pic]
Найти точное аналитическое решение системы (3.1) практически
невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой задержки, то
есть при [pic].
Первое приближение
Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем замену переменных
[pic]. В результате замены производится переход от дискретной переменной
[pic] к непрерывной переменной [pic].
В новых обозначениях [pic]. Тогда система (3.1) примет вид
[pic]
[pic] (3.2)
[pic]
Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.
1 этап. Считая [pic] и предполагая, что [pic], будем иметь
[pic]
[pic] (3.3)
[pic].
Выразим [pic] через функцию [pic] и получим
[pic]
[pic] (3.4)
[pic]
где [pic] [pic] - асимптотическая плотность нормированного числа заявок в
источнике повторных вызовов.
Обозначим
[pic] (3.5)
Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства
[pic]
[pic] (3.6)
[pic].
Осталось найти вид функции [pic]. Для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап. В системе (3.2) разложим функции по приращению аргумента [pic],
ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим систему
[pic]
[pic] (3.7)
[pic]
Просуммируем полученные уравнения, поделим на [pic] и перейдем [pic].
Тогда будем иметь
[pic]. (3.8)
С учетом того, что
[pic]
равенство (3.8) принимает вид
[pic]. (3.9)
Таким образом мы получили, что [pic] удовлетворяет уравнению Фоккера-
Планка с коэффициентом переноса равным [pic], и нулевым коэффициентом
диффузии. Из определения для коэффициента переноса можно сделать вывод, что
[pic], то есть [pic] зависит от времени и [pic] – имеет смысл
асимптотического среднего, в ее окрестности достато
| | скачать работу |
Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа |