Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа

менной  [pic]
к непрерывной переменной [pic], от t перешли к [pic],  причем  [pic]  такое,
что [pic]. После замены производная равна [pic].
      Тогда уравнения (2.1) перепишем
[pic]
[pic]           (2.2)
[pic]
      Решим систему уравнений (2.2) в два этапа.
1 этап. Считая [pic] и предполагая, что [pic] будем иметь
                                    [pic]
                                                  [pic]                (2.3)
                                   [pic].
      Выразим [pic] через функцию [pic] и получим
                                    [pic]
                                               [pic]                   (2.4)
                                    [pic]
где [pic] [pic]асимптотическая плотность распределения нормированного  числа
заявок в источнике повторных вызовов.
      Обозначим
                                                [pic]                  (2.5)
([pic] - это асимптотическая  вероятность  того,  что  обслуживающий  прибор
находится в состоянии k). Заметим, что из системы  (2.3)  следуют  равенства
связывающие [pic], [pic] и [pic]
                                    [pic]
                                                [pic]                  (2.6)
                                   [pic].
      Найдем вид функции [pic], для этого перейдем ко второму этапу.
      2 этап. В системе  дифференциальных  уравнений  (2.2)  все  функции  с
аргументом  [pic]  разложим   в   ряд   по   приращению   аргумента   [pic],
ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим
[pic]
[pic]           (2.7)
[pic]
      Просуммируем левые и правые части уравнений системы  (2.7)  и  получим
равенство
                                                      [pic].           (2.8)
      С учетом того, что
[pic]
равенство (2.8) принимает вид
                                           [pic].                      (2.9)
      Уравнение (2.9) является однородным  линейным  уравнением  с  частными
производными первого порядка. Для того чтобы его решить составим уравнение

                                   [pic],

его решение [pic], тогда [pic]

      Общее решение уравнения (2.9) имеет вид

                                          [pic],                      (2.10)

где [pic] - произвольная дифференцируемая функция,  аналитическое  выражение
которой найдем из начальных условий.
      Пусть  распределение  в  начальный  момент  времени  [pic]  где  [pic]
некоторая плотность распределения. Тогда [pic]следовательно  [pic].  Возьмем
в качестве начальной плотности распределения  [pic],  где  [pic]  -  дельта-
функция Дирака, а [pic], [pic] - число заявок в источнике повторных  вызовов
в начальный момент времени.
      Таким образом [pic], из свойств функции Дирака следует, что [pic].
      То есть мы получили, что [pic],  [pic]  имеет  смысл  асимптотического
среднего.
      Из приведенных рассуждений  вытекает  еще  одно  важное  следствие,  а
именно
[pic]  имеет  место  [pic],  тогда  [pic]   (отрицательная   функция   [pic]
противоречит смыслу задачи). В нашем случае  [pic]  совпадает  с  пропускной
способностью системы.
      Перейдем ко второму приближению, в котором будем искать  распределение
отклонения от асимптотического среднего.

Второе приближение

      В исходной системе уравнений (2.1) сделаем замену переменных [pic].
      Заметим, что в новых обозначениях производная по времени  [pic]  равна
[pic]. С учетом этого система (2.1) примет вид
[pic]
[pic]   (2.11)
[pic]
      Решение системы уравнений (2.11) аналогично решению системы (2.2),  но
проводится в три этапа.
1 этап. В  системе  дифференциальных  уравнений  (2.13)  сделаем  предельный
переход при [pic] и предположим, что [pic], получим
                                    [pic]
                                                    [pic]             (2.12)
                                   [pic].
      Решим эту систему аналогично тому, как решили систему уравнений (2.3).
Введем функцию [pic] и выразим через нее [pic], получим
                                    [pic]
                                                [pic]                 (2.13)
                                    [pic]
где [pic]асимптотическая плотность распределения отклонения числа  заявок  в
источнике повторных вызовов от асимптотического среднего.
2 этап. Функции [pic] будем искать с точностью до [pic] в форме
                                                    [pic]             (2.14)
      Найдем вид  функций  [pic],  [pic]  и   [pic].  Для  этого  в  системе
дифференциальных уравнений (2.11) все функции с аргументом [pic] разложим  в
ряд по приращению аргумента [pic],  ограничимся  слагаемыми  порядка  [pic].
Получим
[pic]
[pic]   (2.15)
[pic]
      В уравнения (2.15) подставим [pic] в форме (2.14),  приведем  подобные
и   получим   систему   неоднородных   линейных   алгебраических   уравнений
относительно [pic] вида
[pic],
[pic],        (2.16)
[pic]
      Нетрудно увидеть, что между уравнениями этой системы есть  зависимость
и  ранг  матрицы  системы  равен,  следовательно,  чтобы  решение  уравнений
(2.16)существовало, необходимо выполнение равенства
                                               [pic]                  (2.17)
      Из однородного линейного уравнения  с  частными  производными  первого
порядка (2.9) мы знаем, что [pic]. Таким образом, можно сделать  вывод,  что
система (2.16) разрешима. При условии, что функция [pic]  известна,  решение
можно записать в виде
[pic],

[pic]         (2.18)

      Теперь все готово, для того, чтобы найти функцию [pic]. Перейдем к
третьему этапу.

      3 этап. В системе дифференциальных  уравнений  (2.11)  все  функции  с
аргументом  [pic]  разложим   в   ряд   по   приращению   аргумента   [pic],
ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим
[pic]
[pic]   (2.19)
[pic]
      Теперь  подставим  в  уравнения  (2.19)  [pic]  в   форме   (2.14)   и
просуммируем левые и правые части уравнений, будем иметь

[pic]      (2.20)
      Подставляя вместо [pic] и [pic] их  выражения,  полученные  на  втором
этапе получим для [pic] уравнение Фоккера-Планка
                                      [pic],                          (2.21)
где
[pic]
      Нормированным решением полученного одномерного уравнения диффузии  [8]
является плотность нормального распределения вероятностей с нулевым  средним
и дисперсией
                                  [pic].                              (2.22)

    3. Исследование нестационарной сети случайного доступа со статическим
                   протоколом в условиях большой задержки


      Исследуем сеть связи, функционирование которой изложено в  разделе  1,
в условиях большой задержки. В этом  случае  удобнее  рассматривать  случай,
когда интенсивность каждой заявки в ИПВ равна  [pic].  Структура  такой  СМО
имеет вид рис. 3.1.



              Рис. 3.1 – Модель системы массового обслуживания

      Вероятности переходов из состояния системы [pic] в произвольный момент
времени t в состояние [pic]  за  бесконечно  малый  интервал  времени  [pic]
показаны на рис. 3.2, рис. 3.3, рис. 3.4.
      Выпишем  уравнения  статистического  равновесия  для   нестационарного
распределения процесса [pic], описывающего функционирование сети
[pic]
[pic]                      (3.1)
[pic]
где [pic]



              Рис. 3.2 – Возможные переходы из состояния [pic]



              Рис. 3.3 – Возможные переходы из состояния [pic]



              Рис. 3.4 – Возможные переходы из состояния [pic]
      Найти  точное  аналитическое   решение   системы   (3.1)   практически
невозможно, но можно решить асимптотически в условиях большой  задержки,  то
есть при [pic].

Первое приближение

      Для асимптотического решения системы (3.1) сделаем  замену  переменных
[pic]. В результате замены производится  переход  от  дискретной  переменной
[pic] к непрерывной переменной [pic].
      В новых обозначениях [pic]. Тогда система (3.1) примет вид
[pic]
[pic]           (3.2)
[pic]
      Получим вид решения системы (3.2), которую будем решать в два этапа.
1 этап. Считая [pic] и предполагая, что [pic], будем иметь
                                    [pic]
                                                  [pic]                (3.3)
                                   [pic].
                 Выразим [pic] через функцию [pic] и получим
                                    [pic]
                                               [pic]                   (3.4)
                                    [pic]
где [pic] [pic] - асимптотическая плотность нормированного  числа  заявок  в
источнике повторных вызовов.
      Обозначим
                                             [pic]                     (3.5)
       Заметим, что из системы (3.3) следуют равенства
                                    [pic]
                                               [pic]                   (3.6)
                                   [pic].
      Осталось найти вид функции [pic]. Для этого перейдем ко второму этапу.
2 этап. В системе (3.2) разложим  функции  по  приращению  аргумента  [pic],
ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим систему
[pic]
[pic]           (3.7)
[pic]
      Просуммируем полученные уравнения, поделим на [pic] и перейдем  [pic].
Тогда будем иметь
                                                       [pic].          (3.8)
      С учетом того, что
[pic]
равенство (3.8) принимает вид
                                         [pic].                        (3.9)
      Таким образом мы получили, что [pic] удовлетворяет уравнению  Фоккера-
Планка с  коэффициентом  переноса  равным  [pic],  и  нулевым  коэффициентом
диффузии. Из определения для коэффициента переноса можно сделать вывод,  что
[pic],  то  есть  [pic]  зависит  от  времени  и   [pic]   –   имеет   смысл
асимптотического среднего, в ее  окрестности  достато
12345След.
скачать работу

Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ