Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа
[pic] к прибору обратится одна из заявок с ИПВ,
произойдет конфликт, и обе заявки переместятся в ИПВ, следовательно,
система в момент времени [pic]будет находиться в состоянии [pic];
г) с вероятностью [pic] состояние системы не изменится.
3. Пусть система в момент времени t находится в состоянии [pic].
Посмотрим, что произойдет через интервал времени длины [pic]:
а) с вероятностью [pic] к прибору обратится заявка из входящего потока,
которая автоматически попадет в ИПВ. В момент времени [pic] система будет в
состоянии [pic];
б) с вероятностью [pic] интервал оповещения о конфликте завершится, и
система перейдет в состояние [pic];
в) с вероятностью [pic] состояние системы не изменится.
Все остальные вероятности переходов не превышают порядка малости
[pic].
Процесс [pic] является марковским, распределение которого
[pic]
в стационарном режиме удовлетворяет системе уравнений
[pic](4.1)
4.1. Асимптотический анализ распределения вероятностей состояний сети
Систему уравнений (4.1) будем решать асимптотическим методом
марковизируемых систем [7] при [pic].
Первое приближение
В системе уравнений (4.1) сделаем следующие замены переменных: [pic].
В результате такой замены производится переход от дискретной переменной
[pic] к непрерывной переменной [pic]. В новых обозначениях система (4.1)
примет вид
[pic] (4.2)
Получим вид решения системы (4.2), которую будем решать в два этапа.
1 этап. Устремим [pic] к нулю и обозначим [pic]. Тогда система (4.2)
перейдет в систему
[pic] (4.3)
решение которой имеет вид
[pic] (4.4)
где [pic] [pic] – асимптотическая плотность распределения вероятностей
нормированного числа заявок в ИПВ.
Осталось найти вид функции [pic], для этого перейдем ко второму
этапу.
2 этап. В системе (4.2) все функции с аргументом [pic] разложим в ряд по
приращению аргумента [pic], ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], получим
[pic] (4.5)
Сложив все уравнения системы, будем иметь
[pic] (4.6)
В полученном равенстве поделим левую и правую части на [pic] и [pic],
прейдем к такому равенству
[pic] (4.7)
Подставим в (4.7) функции [pic] в форме (4.4) и получим
[pic](4.8)
следовательно
[pic] (4.9)
где С – некоторая постоянная.
Необходимо найти константу C. Нетрудно заметить, что при х=0 выражение
в фигурных скобках не положительно, следовательно [pic], а при х=1 [pic].
Итак, [pic]. Таким образом, произведение двух функций равно нулю,
следовательно, [pic] может принимать какое-либо ненулевое значение лишь в
тех точках, в которых выражение в скобках равно нулю.
Получим функцию [pic], везде равную нулю, за исключением точек,
являющихся корнями уравнения
[pic]
после преобразований это выражение принимает вид
[pic] (4.10)
Так как [pic] – плотность распределения вероятностей, то должно
выполняться условие нормировки [pic]. Этим условиям удовлетворяет лишь
функция вида
[pic],
где [pic]– корни уравнения (4.10), n – число корней, [pic].
Если уравнение (4.10) имеет единственный корень [pic], то эту точку
назовем точкой стабилизации, потому что она является модой распределения
вероятностей нормированного процесса заявок в ИПВ [pic], и в ее окрестности
достаточно долго флуктуируют значения этого процесса. В этом случае назовем
сеть моностабильной.
Второе приближение
Пусть уравнение (4.10) имеет единственный корень [pic], то есть
плотность распределения исследуемой сети сосредоточена около точки [pic].
Найдем плотность распределения отклонения от этой точки. Для этого в
системе (4.1) сделаем замену переменных:[pic], [pic], [pic].
В новых обозначениях система (4.1) примет вид
[pic] (4.11)
Систему (4.11) будем решать в три этапа.
1 этап. Устремим [pic] к нулю и обозначим [pic], тогда система (4.11)
перейдет в систему
[pic] (4.12)
решение которой имеет вид
[pic] (4.13)
где [pic], [pic] – плотность распределения нормированной величины
[pic]отклонения процесса [pic] от значения [pic] – корня уравнения (4.10).
Найдем вид функции [pic].
2 этап. Неизвестные функции [pic] будем искать в форме
[pic] (4.14)
где [pic] (4.15)
[pic] – асимптотическая вероятность того, что состояние обслуживающего
канала равно [pic].
В системе уравнений (4.11) все функции с аргументом [pic] разложим в
ряд по приращению аргумента [pic], ограничиваясь слагаемыми порядка [pic],
получим
[pic] (4.16)
В полученных формулах заменяем [pic] по формуле (4.14), при этом
учитываем, что из системы (4.12) следуют равенства
[pic] (4.17)
Получим неоднородную линейную систему алгебраических уравнений
относительно неизвестных функций [pic] (в предположении, что [pic]
известна) вида
[pic] (4.18)
Заметим, что ранг соответствующей однородной системы равен двум.
Следовательно, для того, чтобы решение системы (4.18) существовало,
необходимо, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы также равнялся
двум, т.е. чтобы выполнялось следующее равенство
[pic] (4.19)
откуда следует, что
[pic] (4.20)
Чтобы показать равенство (4.20) воспользуемся определением для [pic] и
свойствами констант [pic], получим
[pic] (4.21)
Если предположить, что функция [pic] известна, то решение системы
(4.18) примет вид
[pic] (4.22)
3 этап. В системе (4.11) все функции с аргументом [pic] разложим в ряд по
приращению аргумента [pic], ограничиваясь слагаемыми порядка [pic], будем
иметь
[pic]
[pic] (4.23)
[pic]
Сложив левые и правые части системы уравнений (4.23) получим
[pic] (4.24)
Чтобы сделать предельный переход в полученной формуле, нужно чтобы все
слагаемые имели порядок [pic]. Заменим [pic] по формуле (4.14), подставив
вместо [pic] их выражения, полученные на втором этапе. Для [pic] получим
линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида
[pic] (4.25)
где
[pic] (4.26)
Решение уравнения (4.25) можно найти в виде
[pic] (4.27)
4.2. Численный метод анализа распределения вероятностей
В редких случаях удается получить численное решение системы конечно-
разностных уравнений для распределения случайного процесса [pic]. В силу
конечности числа АС это удается сделать.
Рассмотрим систему уравнений (4.1) и выпишем недостающие граничные
условия для [pic], [pic], [pic].
1. Рассмотрим варианты того, как в момент времени [pic] можно
оказаться в состоянии [pic]:
а) пусть в момент времени [pic]система находится в состоянии [pic], то есть
прибор обслуживает заявку и в ИПВ пусто. За время [pic] с вероятностью
[pic] закончится обслуживание, и система окажется в состоянии [pic];
б) пусть в момент времени [pic]система находится в состоянии [pic], то есть
прибор простаивает и в ИПВ пусто, с вероятностью [pic] за время [pic]не
поступят заявки, и состояние системы не изменится.
2. Рассмотрим варианты того, как в момент времени [pic] можно
оказаться в состоянии [pic]:
а) пусть в момент времени [pic]система находится в состоянии [pic], то есть
прибор обслуживает заявку и в ИПВ одна заявка. За время [pic] с
вероятностью [pic] закончится обслуживание, и система окажется в состоянии
[pic];
б) пусть в момент времени [pic]система находится в состоянии [pic], то есть
прибор простаивает и в ИПВ одна заявка, с вероятностью [pic] за время
[pic]не поступят заявки из внешнего источника и из ИПВ, и состояние системы
не изменится.
3. Рассмотрим варианты того, как в момент времени [pic] можно
оказаться в состоянии [pic]:
а) пусть в момент времени [pic]система находится в состоянии [pic], то есть
прибор оповещает о конфликте и в ИПВ N заявок. За время [pic] с
вероятностью [pic] этап оповещения о конфликте завершится, и система
перейдет в состояние [pic];
б) пусть в момент времени [pic]система находится в состоянии [pic], то есть
прибор простаивает и в ИПВ N заявок, с вероятностью [pic] за время [pic] ни
одна из них не обратится к прибору и состояние системы не изменится;
Теперь можно записать конечно-разностные уравнения
[pic]
[pic] (4.28)
[pic],
которые в стационарном режиме принимают вид
[p
| |  скачать работу |
Асимптотические методы исследования нестационарных режимов в сетях случайного доступа |
