Дифференциальные уравнения
инственное решение y=y(x) указанного уравнения,
удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0 и являющееся непрерывно
дифференцируемым в интервале [pic], где [pic].
Доказательство теоремы приводить не будем, укажем лишь, что может быть
осуществлено методом последовательных приближений Пикара (1856-1941),
использующего ранее приведенное интегральное уравнение.
Последовательность функций, дающих приближенное решение уравнения, строится
по правилу:
[pic],
[pic],
………………………………
[pic].
Далее можно показать, что функция [pic] дает единственное решение
дифференциального уравнения [pic] в промежутке [pic].
Выше был рассмотрен случай дифференциального уравнения первого порядка
разрешенного относительно производной y/.
Более общим видом является случай уравнения вида [pic], не разрешимого
относительно производной y/.
Допустим, что данное уравнение может быть разрешено относительно y/, и в
общем случае это дает несколько вещественных уравнений [pic] (k=1,2,…,m).
Если при этом каждая из функций [pic] (k=1,2,…,m) удовлетворяет теореме
существования и единственности решения, то через точку (x0,y0) будет
проходить m интегральных кривых уравнения [pic]. Пусть при этом каждая
точка кривой имеет свой наклон касательной, отличный от других кривых. В
этом случае также говорят, что задача Коши имеет единственное решение.
Общим решением уравнения называют совокупность всех общих решений каждого
из уравнений [pic] (k=1,2,…,m), т.е. решения y=Yk(x,c) (k=1,2,…,m).
Пример. Рассматривается дифференциальное уравнение вида [pic][pic].
Разрешая его относительно y/ получаем два уравнения y/=1 и y/=-1, т.е.
через каждую точку плоскости xOy проходят две интегральные кривые,
касательные к которым имеют два разных угла наклона к оси Ox в 450 и 1350.
Общим решением уравнения будет семейство интегральных кривых y=x+c и y=-
x+c.
Особым решением дифференциального уравнения
[pic] или [pic]
называется решением y=y(x), которое во всех своих точках не обладает
свойством единственности. Через каждую точку такого решения проходит не
менее двух интегральных кривых, имеющих одинаковое направление касательной.
Отметим, что из сказанного выше следует, что дифференциальное уравнение
может иметь решения не являющиеся ни частными, ни особыми, а именно, если
эти решения получаются склеиванием кусков из частных и особых решений.
4. Особые решения дифференциального уравнения.
Пусть рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка общего
вида F(x,y,y/)=0.
Тогда существование его особого решения прежде всего может быть связано с
условием [pic], не обеспечивающим представление y/ как неявной функции
переменных x и y, задаваемой уравнением F(x,y,y/)=0.
Таким образом, формируя систему уравнений
[pic],
и исключая из нее переменную y/, получаем функцию y=y(x), которая может
дать особое решение дифференциального уравнения F(x,y,y/)=0.
Определение. Кривая, получаемая исключением параметра p из системы
уравнений
[pic],
называется дискретной кривой уравнения F(x,y,y/)=0.
Для того, чтобы дискретная кривая давала особое решение дифференциального
уравнения, остается проверить, что она удовлетворяет уравнению F(x,y,y/)=0,
и что через каждую ее точку проходит хотя бы одна интегральная кривая
общего решения этого уравнения, т.е. проверить, что в точках дискретной
кривой нарушается свойство единственности решения дифференциального
уравнения.
Пример 1. Дано уравнение [pic].
Как было указано выше его особое решение дается уравнениями y=x+c и y=-x+c.
Опреляя для него дискретную кривую имеем систему уравнений
[pic].
Очевидно, данная система решения не имеет, поэтому рассматриваемое
дифференциальное уравнение особых решений не имеет.
Пример 2. Рассмотрим решение уравнения [pic]
Его общее решение имеет вид [pic]. Выписывая систему уравнений
[pic] или [pic], (где p=y/)
и исключая из нее переменную p, получаем уравнение дискретной кривой y=0
(ось Ox). Очевидно, она является решением дифференциального уравнения, так
как из y=0=const следует y/=0. Кроме того через любую точку M(x0;0) этой
кривой проходит частное решение дифференциального уравнения, получаемое из
общего при c=-x0. Не трудно убедиться, что касательные в точке M(x0;0)
дискретной кривой и частного решения совпадают. Таким образом, дискретная
кривая y=0 является особым решением исходного дифференциального уравнения.
Ниже на рис. 3 изображено семейство интегральных кривых этого уравнения,
являющееся семейством парабол.
Из рисунка видно, что дискретная кривая y=0, являющаяся осью Ox, касается в
каждой точке некоторой кривой семейства.
Выше была рассмотрена ситуация, когда уравнение F(x,y,y/)=0 не определяло
y/ как неявную функцию переменных x и y, так как выполнялось условие [pic].
Предположим теперь, что в области D, где ищется решение дифференциального
уравнения, выполняется условие [pic]. В этом случае уравнение F(x,y,y/)=0
определяет y/ как неявную функцию от x и y, т.е. можно считать y/=f(x,y)
или даже явно выразить y/ через x и y в виде y/=f(x,y). Тогда особое
решение будет связано с нарушением условий приведенной выше в параграфе 3,
теоремы Коши существования и единственности решения дифференциального
уравнения.
Таким невыполнимым условием, обычно, берется условие Липшица, и
геометрическое место точек, в которых оно нарушается, задается условием
[pic] или, считая [pic], условием [pic].
Пример 3. Рассматривается дифференциальное уравнение [pic] (сравните с
примером 2). Здесь [pic]. Так как [pic], то дискретная кривая отсутствует.
Из [pic] и условия [pic], находим, что в точках кривой y=0, являющейся осью
Ox, нарушается условие теоремы Коши. Следовательно, эта кривая y=0 может
быть особым решением. Остается проверить, что она удовлетворяет исходному
дифференциальному уравнению и что в ее точках нарушается условие
единственности прохождения интегральной кривой. Общее решение данного
уравнения имеет вид [pic], т.е. такой же, как и в примере 2. Разбирая
пример 2, выполнимость обоих условий была проверена. Следовательно, решение
y=0 действительно является особым.
Пример 4. Дано уравнение [pic].
Для него [pic], т.е. дискретной кривой нет. Из [pic] и условия [pic],
получаем точки кривой y=0, в которых нарушены условия теоремы Коши.
Однако, в данном случае кривая y=0 не удовлетворяет дифференциальному
уравнению. Следовательно, это уравнение особых решений не имеет.
Особым решением дифференциального уравнения довольно часто бывают огибающие
семейства его интегральных кривых.
Определение. Кривая y=y(x) называется огибающей семейства интегральных
кривых интегрального уравнения, задаваемого общим решением Ф(x,y,c)=0, если
в каждой точке она касается одной из кривых данного семейства, т.е. имеет с
ней в этой точке общую касательную.
Для нахождения огибающей может быть использован следующий подход.
Пусть огибающая задана параметрически уравнениями x=x(t),y=y(t).
Со значением параметра t можно связать значение постоянной c, отвечающей
той интегральной кривой семейства Ф(x,y,c)=0, которая касается огибающей в
точке M(x(t),y(t)), т.е. величину c можем рассматривать как функцию
параметра t, а именно c=c(t).
Подставляя функции x=x(t),y=y(t) и c=c(t) в Ф(x,y,c)=0, получаем тождество
[pic].
Предполагая, что Ф(x,y,c) имеет непрерывные частные производные первого
порядка, из тождества вытекает [pic].
Покажем, что [pic]. Действительно, k-угловой коэффициент касательной для
огибающей в точке x0=x(t0), y0=y(t0) при t=t0 равен
[pic].
Уравнение Ф(x,y,c0)=0, где c0=c(t0), задает интегральную кривую семейства,
проходящую через точку M0(x0, y0). Угловой коэффициент касательной к данной
интегральной кривой в точке M0(x0, y0) равен [pic], где [pic] уравнение
данной кривой. Рассматривая уравнение Ф(x,y,c0)=0, как неявное задание
уравнения [pic] интегральной кривой, значение [pic] найдем из соотношения
[pic], предполагая [pic].
Из [pic] получаем [pic] и
[pic] или
[pic].
Таким образом, для произвольного значения t0 параметра t выполняется [pic].
Следовательно, из [pic] с учетом доказанного соотношения получаем
[pic].
Но так как [pic], ибо [pic], то из последнего вытекает, что в точках
огибающей должно выполняться условие [pic].
Таким образом, для нахождения огибающей надо рассмотреть систему уравнений
[pic].
Исключая из нее параметр c, найдем уравнение y=y(x) или Y(x,y)=0 огибающей
(исключая точки, где одновременно [pic] и [pic]). Окончательно убеждаясь в
том, что поперечная кривая является огибающей, проверяя условие касания в
каждой ее точке интегральной кривой семейства.
Пример 5. Снова рассмотрим уравнение из примера 2 [pic]. Его общее решение
имеет вид [pic], т.е. [pic].
Для нахождения огибающей рассмотрим систему
[pic].
Из нее получаем уравнение огибающей y=0. Далее убеждаемся, что y=0
действительно является огибающей, так как через каждую ее точку M(x0;0)
проходит интегральная кривая со значением параметра c=-x0.
Пример 6. Рассмотрим дифференциальное уравнение [pic]. Его общее решение
имеет вид (x-c)2+y2=1 получаем [pic]. Подставляя [pic] и (x-c)2+y2=1 в
левую часть уравнения, получим тождество [pic].
Нетрудно видеть, что семейством интегральных кривых являются окружности
единичного радиуса с центром в точках (c,0), лежащих на оси Ox.
На рис. 4 изображено семейство этих окружностей.
Из рисунка видно, что семейство интегральных кривых имеет две огибающие y=1
и y=-1, удовлетворяющих диффренциальному уравнению и, следовательно, дающих
его два особых решения.
Найдем уравнения огибающих аналитически. Из Ф(x,y,c)=(x-c)2+y2-1, [pic]
получаем следующую систему уравнений
[pic].
Исключая из уравнения параметр c, получаем y2=1. Данное уравнение дает две
огибающих y=1 и y=-1.
Пример 7. Дано уравнение [pic].
Его общее решение будет [pic], представляющем семейство гипербол,
изображенных на рис. 5.
Из [pic] для нахождения предполагаемых огибающих получаем систему уравнений
[pic].
Ис
| |  скачать работу |
Дифференциальные уравнения |
