Дифференциальные уравнения
[pic],
где A – произвольная постоянная. Очевидно, [pic] является его частным
решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении
[pic], т.е.
[pic].
Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной [pic], то
получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид
[pic].
В нем второй множитель функция [pic] является, как нетрудно видеть, частным
решением при c=1 однородного линейного уравнения [pic]. Первый множитель
функция [pic] представляет общее решение дифференциального уравнения
u/v(x)=h(x).
Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество
[pic]
[pic].
Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального
уравнения [pic]
Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного
уравнения [pic], решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения
u/v(x)=h(x).
Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с
разделяющимися переменными.
Заметим, что хотя при решении однородного уравнения [pic] бралось частное
решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0,
Являющегося уравнением с разделяющимися переменными.
На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения
u/v(x)=h(x),
Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений
общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде
Y=u(x,c)v(x).
Пример 1. Решить уравнение
Y/+2y=sinx.
Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0.
Из него получаем
[pic] или [pic].
Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение)
вида
[pic].
Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное
частное решение [pic].
Далее решаем уравнение вида
[pic] или [pic].
Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее
решение этого уравнения
[pic].
Вычислим интеграл:
[pic]
[pic].
Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла,
находим его вид
[pic].
Следовательно, [pic].
Тогда общее решение исходного уравнения будет
[pic].
Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее
через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию
y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем
соответствующее значение постоянной c:
[pic], отсюда [pic].
Искомым частным решением является
[pic].
Пример 2. Решить уравнение
[pic],
являющееся линейным дифференциальным уравнением.
На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного
уравнения
[pic], или [pic].
Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем
[pic].
Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное
решение
[pic].
На втором этапе решаем уравнение вида
[pic].
Делая замену [pic], сокращая обе части уравнения на [pic] и разделяя
переменные, имеем du=x2dx.
Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение
[pic].
Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
[pic].
8. Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено
в виде
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0,
Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая
часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е.
dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy,
то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде
dU(x,y)=0,
а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0.
Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы
подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости
и т.д.).
Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли
рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах.
Путьс
dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для
U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным
x и y, т.е.
[pic].
Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные
частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений
[pic],
из тождества
[pic]
получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие
[pic].
Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для
того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Было уравнением в полных дифференциалах.
Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в
два этапа.
На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента
x, переменная y получает как бы фиксированное значение [pic] . Тогда
соотношению
[pic]
ставится в соответствие дифференциальное уравнение
[pic].
Пусть его общее решение представляется в виде
[pic].
Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c
является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего
дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения,
имеет вид
U(x,y)=g(x,y)+h(y).
На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к
соотношению
[pic],
в котором уже закрепляется как бы значение переменной x.
Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем
дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y:
[pic] или [pic].
Интегрируя это уравнение, находим его общее решение
[pic].
Из [pic], получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно
[pic] или
[pic].
В последнем двойном интеграле вместо [pic] можно взять функцию [pic] (т.к.
[pic]). Тогда функция U(x,y) получает вид
[pic].
Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в
виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий
вид общего решения уравнения
[pic] или
[pic].
Пример 1. Дано дифференциальное уравнение
(6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0.
В нем M(x,y)=6x2y2+6xy-1, N(x,y)=4x3y+3x2y+2y. Из [pic] и тождества [pic],
Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Проведем его решение в два этапа.
На первом решаем уравнение
[pic] или dU=(6x2y2+6xy-1)dx,
в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение,
получаем
U(x,y)=2x3y2+3x2y-x+h(y).
На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого
соотношение
[pic]
и дифференциальное уравнение для h и y
4x3y+3x2+h/(y)=4x3y+3x2+2y или [pic].
Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного уравнения
тогда можно записать в виде
2x3y2+3x2y-x+y2=c.
Пример 2. Найти решение уравнения
2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0.
Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из
M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy
Находим
[pic].
Так как, очевидно, выполняется условие
[pic],
то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Сначала решаем уравнение
[pic] или dU=2xsinydx,
считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает
U(x,y)=x2siny+h(y).
Затем находим функцию h(y), используя соотношения
[pic], с одной стороны, и [pic], с другой стороны. Соотношения приводят к
дифференциальному уравнению
[pic] или [pic].
Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c.
Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в
виде
X2siny+y3+c=0.
Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что
уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы
сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению
U(x,y)=c.
Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,
Где [pic].
Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в
виде
[pic].
Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных
дифференциалах вида
M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0.
Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y),
то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.
Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого
оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных
дифференциалах, также для него возможно будет
[pic].
В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится
уравнением в полных дифференциалах.
Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем
дифференциального уравнения
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0,
Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных
дифференциалах.
Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом
интегрирующего множителя.
Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y).
Из предложения, что уравнение
M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0
Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия
[pic].
Разверернув левую и правую части этого тождества
[pic],
заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения
[pic].
В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два
случая, когда его решение становится проще.
Случай первый. Пусть
[pic].
Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только
от x.
Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду [pic]; получаем, что искомая
функция g(x) является решением дифференциального уравнения
[pic] или [pic],
интегрируя которое, находим
[pic], т.е. [pic].
Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда
[pic].
Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е.
g=g(y).
Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является
решением уравнения
[pic]
и представляется в виде
[pic].
Пример 3. Дано уравнение
(y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0.
Из M(x,y)=y2-3xy-2x2, N(x,y)=xy-x2, [pic], [pic] следует [pic], т.е.
уравнение не является в полных дифференциалах.
Однако из соотношения
[pic]
вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после
умножения на который исходное уравнение становится уравнени
| |  скачать работу |
Дифференциальные уравнения |
