Дифференциальные уравнения
ем в полных
дифференциалах.
Указанный множитель находим из уравнения
[pic],
интегрируя которое получаем [pic], или g=xc. Так как в качестве множителя
достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда, g=x.
Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем
(xy2-3x2y-2x3)dx+(x2y-x3)dy=0,
являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим
[pic],
[pic],
затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3
получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т.е. [pic] и,
следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид
[pic].
Пример 4. Требуется решить уравнение
(2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0.
Из M(x,y)=2xy2-y, N(x,y)=y2+x+y, [pic] следует
[pic].
Однако из соотношения
[pic],
вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует
интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится
уравнением в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель находится из уравнения
[pic].
Интегрируя его, получаем [pic].
Умножая исходное уравнение на множитель [pic], приходим к уравнению
[pic].
Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его
[pic],
[pic],
затем из [pic] и [pic],
получаем
[pic] или [pic].
Интегрируя последнее уравнение, имеем [pic].
Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
[pic].
9. Дифференциальные уравнения второго порядка.
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка имеет следующий
общий вид
F(x,y,y/,y//)=0 или [pic].
Наше знакомство с дифференциальными уравнениями второго порядка будет
ограничено рассмотрением линейного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y//+py/+qy=h(x),
где p и q – числа, h(x) – некоторая функция от x.
Если в этом уравнении [pic], то оно называется однородным линейным
дифференциальным уравнением второго порядка.
Рассмотрим решение однородного уравнения
[pic].
Этому явлению может быть поставлено в соответствие квадратное уравнение
вида [pic],
Называемое характеристическим. Его корни[pic], как известно, определяются
формулами
[pic].
Возможны следующие три случая для вида корней [pic] этого уравнения: 1)
корни уравнения – действительные и различные; 2) корни – действительные и
равные; 3) корни уравнения – комплексно-сопряженные. Для каждого из этих
случаев однородное дифференциальное уравнение имеет свой вид общего
интеграла.
Случай 1. Дискриминант характеристического уравнения положителен, т.е. p2-
4q>0. Тогда оба корня [pic] действительные и различные. В этом случае общее
решение однородного уравнения имеет вид
[pic],
где c1, c2 – произвольные постоянные.
Действительно, если [pic], то [pic], [pic]. Подставляя выражения для y,y/ и
y// в уравнение получим
[pic]
[pic].
Случай 2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен
нулю, т.е p2-4q=0.
Тогда оба корня [pic] действительные и равные, т.е. [pic].
В этом случае общее решение однородного уравнения имеет вид
[pic].
Случай 3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения
отрицателен, т.е. p2-4q<0.
Тогда говорят, что квадратное уравнение не имеет действительных корней (или
что оба корня являются комплексно-сопряженными). В этом случае, обозначая
[pic], общее решение однородного уравнения дается в виде
[pic].
Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения
y//+py/+g(y)h(x),
где h(x) – некоторая функция от x.
Пусть в этом уравнении q=0, тогда, используя подстановку y/=z, y//=z/,
приходим к решению линейного дифференциального уравнения первого порядка
z/+pz=h(x).
| |  скачать работу |
Дифференциальные уравнения |
