Дзета-функция Римана
тсюда немедленно следует искомая формула
[pic]
(4), где [pic] - k-е число Бернулли. Она удобна тем,
что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.
Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз
графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на
всей области определения.
[pic]
Леонард Эйлер, впервые рассмотревший дзета-функцию, получил
замечательное разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже
принимают за определение:
[pic], где pi – i-е простое число
(4).
Докажем тождественность ряда (1) и произведения (4). Вспомнив формулу
суммы геометрической прогрессии, получаем равенство [pic]
[pic] Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым
числам, не превосходящим заданного натурального числа N, то получившееся
частичное произведение окажется равным [pic], где символ *
означает, что суммирование распространяется не на все натуральные
числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении
содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел
этим свойством обладают, то
[pic]
(5).
Сумма [pic] содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, [pic].
Из (5) получаем
[pic]
(6).
Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток
после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а
[pic] есть произведение (4). Значит из неравенства при [pic] [pic], что и
требовалось доказать.
Формула (4) важна потому, что она связывает натуральный ряд,
представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством
простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив [pic], а
именно показав, что [pic], где [pic] остаётся ограниченным при [pic].
Из (4) следует, что [pic], где [pic]N, а [pic] при [pic]. Возьмём
логарифм от обеих частей равенства, тогда [pic] [pic]. Натуральные
логарифмы под знаком суммы разлагаются в ряд: [pic] [pic]. Подставив
полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем
[pic]. Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что
[pic]. Последнее равенство справедливо, так как [pic] [pic]. Далее,
очевидно, [pic], что и завершает доказательство.
На этом закончим изложение свойств дзета-функции Римана для
действительного аргумента, так как наибольший теоретический и прикладной
интерес представляет случай изложенный во второй главе.
Глава 2.
Все результаты первой главы, касающиеся дзета-функции Римана, были
получены в предположении, что её аргумент s – действительное число. Однако,
самые выдающиеся исследования и многочисленные важные приложения стали
возможны лишь после включения в область определения функции комплексных
чисел. Впервые рассмотрел дзета-функцию как функцию мнимого аргумента
немецкий математик Бернгард Риман, глубоко изучивший её свойства и широко
применявший её в теории чисел. В честь него функция получила своё название.
Для комплексной дзета-функции остаётся в силе определение, данное в
главе 1, с тем лишь изменением, что теперь там будет [pic]C. Возникает
необходимость найти новую область определения. С этой целью докажем
следующее утверждение: в полуплоскости [pic] ([pic] действительная часть
числа x) ряд
[pic]
(1) сходится абсолютно.
Пусть [pic]. Подсчитаем абсолютные величины членов ряда (1), [pic].
Первый множитель содержит только вещественные числа и [pic], так как [pic].
Ко второму же множителю применим знаменитую формулу Эйлера, получим
[pic][pic]. Значит, [pic]. Ввиду сходимости ряда [pic] при ?>1, имеем
абсолютную сходимость ряда (1).
На своей области определения дзета-функция аналитична. Действительно,
при всяком q>0 и фиксированном ?>1+q, числовой ряд [pic] мажорирует ряд из
абсолютных величин [pic], где [pic], откуда, по теореме Вейерштрасса,
следует равномерная сходимость ряда в полуплоскости [pic]. Сумма же
равномерно сходящегося ряда из аналитических функций сама является
аналитической функцией.
Нетрудно показать, что все полученные для дзета-функции формулы без
изменений переносятся на случай комплексного аргумента. Доказательства
претерпевают незначительные преобразования, связанные с переходом к
абсолютным величинам.
В связи с этим замечанием становится возможным использовать разложение
дзета-функции в произведение [pic], где s теперь любое комплексное число,
такое, что [pic]. Применим его к доказательству отсутствия у функции [pic]
корней.
Оценим величину [pic], используя свойство модуля [pic]: [pic], где как
обычно [pic]. Так как [pic], то [pic], а [pic], следовательно, дзета-
функция в нуль не обращается.
Вопрос о нулях дзета-функции, а также другие прикладные вопросы
получают новые широкие возможности для исследования, если распространить её
на всю комплексную плоскость. Поэтому, сейчас мы одним из многих возможных
способов найдём аналитическое продолжение дзета-функции и выведем её
функциональное уравнение, характеризующее и однозначно определяющее [pic].
Для этого нам понадобится формула
[pic] (2), которая выводится следующим образом. Используя свойства
интегралов можно записать [pic]. Для любого d при [pic] [pic], значит
[pic] и [pic], а [pic]. [pic]. Следовательно, [pic] [pic] [pic][pic][pic].
Интеграл [pic] можно найти интегрированием по частям, принимая [pic],
[pic]; тогда [pic], а [pic]. В результате [pic] [pic]. Вычтем из этого
интеграла предыдущий и получим [pic], отсюда легко следует равенство (2).
Теперь положим в (2) [pic], [pic], a и b – целые положительные числа.
Тогда [pic] [pic]. Пусть сначала [pic], примем a=1, а b устремим к
бесконечности. Получим [pic]. Прибавим по единице в обе части равенств:
[pic]
(3).
Выражение [pic] является ограниченным, так как [pic], а функция [pic]
абсолютно интегрируема на промежутке [pic] при [pic], то есть при [pic],
[pic]. Значит, интеграл [pic] абсолютно сходится при [pic], причём
равномерно в любой конечной области, лежащей в комплексной плоскости справа
от прямой [pic]. Тем самым он определяет аналитическую функцию переменной
s, регулярную при [pic]. Поэтому правая часть равенства (3) представляет
собой аналитическое продолжение дзета-функции на полуплоскость [pic] и
имеет там лишь один простой полюс в точке [pic] с вычетом, равным единице.
Для [pic] можно преобразовать выражение (3) дзета-функции. При [pic]
имеем [pic], значит, [pic] и[pic]. Теперь при [pic] (3) может быть записано
в виде [pic].
Немного более сложными рассуждениями можно установить, что в
действительности (3) даёт аналитическое продолжение дзета-функции на
полуплоскость [pic]. Положим [pic], а [pic], то есть [pic] первообразная
для [pic]. [pic] ограничена, так как [pic], а интеграл [pic] [pic] и [pic]
[pic] ограничен из-за того, что [pic]. Рассмотрим интеграл [pic] при x1>x2
и [pic]. Проинтегрируем его по частям, приняв [pic], [pic], тогда [pic], а
по указанному выше утверждению [pic]. Получаем [pic] [pic]. Возьмём [pic],
а [pic]. Имеем [pic], [pic], потому что [pic] является ограниченной
функцией. Значит,
[pic]
(4).
Пользуясь абсолютной сходимостью интеграла [pic], если [pic], и
ограниченностью функции [pic], делаем вывод, что в левой части равенства
(4) интеграл тоже сходится при [pic]. Значит формулой (3) можно продолжить
дзета-функцию и на полуплоскость правее прямой [pic].
Нетрудно установить, что для отрицательных [pic] [pic], поэтому из (3)
имеем
[pic]
(5) при [pic].
Из теории рядов Фурье известно, что для нецелых значений x справедливо
разложение в ряд
[pic]
(6).
Подставим его в равенство (5) и проинтегрируем ряд почленно:
[pic]. Сделаем в полученном интеграле подстановку [pic], отсюда следует
[pic], а [pic], и получим далее [pic]. Известно, что [pic] [pic], значит
[pic] [pic]. Из известного соотношения для гамма-функции [pic], по формуле
дополнения [pic], следовательно [pic] [pic]
Итак, мы получили функциональное уравнение дзета-функции Римана
[pic]
(7),
которое само по себе может служить средством изучения этой функции, так как
вполне характеризует её, в том смысле, что любая другая функция [pic],
удовлетворяющая равенству (7), а также ещё некоторым естественным условиям,
тождественна с [pic].
Пока, правда, как следует из рассуждений, мы доказали формулу (7) для
[pic]. Однако правая часть этого равенства является аналитической функцией
s и при [pic]. Это показывает, что дзета-функция может быть аналитически
продолжена на всю комплексную плоскость, причём не имеет на ней никаких
особенностей, кроме упоминавшегося полюса при [pic].
Чтобы доказательство было строгим, мы должны ещё обосновать почленное
интегрирование. Поскольку ряд (6) сходится почти всюду и его частичные
суммы остаются ограниченными, почленное интегрирование на любом конечном
отрезке допустимо. Ввиду [pic] [pic] для любого [pic], остаётся доказать,
что [pic] [pic] при [pic]. Но интегрируя внутренний интеграл по частям
имеем [pic]
[pic]. Отсюда
| |  скачать работу |
Дзета-функция Римана |
