Дзета-функция Римана
без труда получается наше утверждение.
Функциональное уравнение дзета-функции (7) может быть записано многими
способами. Например, заменим s на 1-s, получаем равносильное равенство
[pic]
(8). Из него можно получить два небольших следствия.
Подставим в (8) вместо s число 2m, где m – натуральное число. Имеем
[pic]. По формуле (4) первой главы [pic] [pic], а [pic], поэтому [pic] и
произведя в правой части все сокращения, учитывая, что [pic], получим
[pic].
Покажем ещё, что [pic]. Для этого прологарифмируем равенство (8):
[pic] [pic] и результат продифференцируем [pic] [pic]. В окрестности точки
s=1 [pic], [pic] [pic], [pic], где С – постоянная Эйлера, а k –
произвольная постоянная. Следовательно, устремляя s к единице, получим
[pic], то есть [pic]. Опять из формулы (4) главы 1 при k=0 [pic], значит,
действительно, [pic].
Глава 3.
Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в
математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в
теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения
простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и
нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой
работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с
её помощью несколько интересных утверждений.
Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое
знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в
следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел,
обозначим их p1, p2, … , pn. Рассмотрим число p1p2…pn+1, оно не делится ни
на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является
простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению.
Значит, количество простых чисел не может быть конечным.
Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было
дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1,
получим [pic], отсюда [pic] и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем
при [pic]
[pic]
(1). Если бы количество простых чисел было
конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный
результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
Теперь перепишем (1) в виде [pic]. Опираясь на теорему о сходимости
бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что
ряд [pic] расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста
простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о
расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его
членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные
промежутки без простых чисел, например: [pic], [pic], … , [pic].
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в
концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и
более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей
день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было
исследование функции [pic], то есть количества простых чисел не
превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей [pic] и [pic], мы
сейчас получим равенство
[pic]
(2).
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: [pic].
Из логарифмического ряда [pic], учитывая, что [pic], приходим к ряду [pic]
[pic]. Значит, [pic].
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при [pic] [pic],
то [pic]. Во внутреннем интеграле положим [pic], тогда [pic] и [pic],
отсюда [pic].В промежутке интегрирования [pic], поэтому верно разложение
[pic] и [pic] [pic]. Получаем [pic] [pic]. Теперь [pic] [pic] [pic]. Если
сравнить полученное значение интеграла с рядом для [pic], то увидим, что
они тождественны и равенство (2) доказано.
Используем формулу (2) для доказательства одной очень серьёзной и
важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения
простых чисел, то есть покажем, что [pic].
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик
Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в
пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических
таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это
уравнение относительно [pic], то есть обратить интеграл. Сделаем это с
помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть [pic] [pic].
Тогда
[pic]
(3). Этот интеграл имеет нужную форму, а [pic] не повлияет
на асимптотику [pic]. Действительно, так как [pic], интеграл для [pic]
сходится равномерно в полуплоскости [pic], что легко обнаруживается
сравнением с интегралом [pic]. Следовательно, [pic] регулярна и ограничена
в полуплоскости [pic]. То же самое справедливо и относительно [pic], так
как [pic] [pic].
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма
затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем
равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем [pic].
Обозначим левую часть через [pic] и положим [pic], [pic], ([pic], [pic] и
[pic] полагаем равными нулю при [pic]). Тогда, интегрируя по частям,
находим [pic] при [pic], или [pic].
Но [pic] непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном
интервале, а так как [pic], то [pic] ([pic]) и [pic] ([pic]).
Следовательно, [pic] абсолютно интегрируема на [pic] при [pic]. Поэтому
[pic] при [pic], или [pic] при [pic]. Интеграл в правой части абсолютно
сходится, так как [pic] ограниченна при [pic], вне некоторой окрестности
точки [pic]. В окрестности [pic] [pic] и можно положить [pic], где [pic]
ограниченна при [pic], [pic] и имеет логарифмический порядок при [pic].
Далее, [pic] [pic]. Первый член равен сумме вычетов в особых точках,
расположенных слева от прямой [pic], то есть [pic]. Во втором члене можно
положить [pic], так как [pic] имеет при [pic] лишь логарифмическую
особенность. Следовательно, [pic]. Последний интеграл стремится к нулю при
[pic]. Значит,
[pic]
(4).
Чтобы перейти обратно к [pic], используем следующую лемму.
Пусть [pic] положительна и не убывает и пусть при [pic] [pic]. Тогда
[pic].
Действительно, если [pic] - данное положительное число, то [pic] [pic]
([pic]). Отсюда получаем для любого [pic] [pic] [pic]. Но так как [pic] не
убывает, то [pic]. Следовательно, [pic]. Полагая, например, [pic], получаем
[pic].
Аналогично, рассматривая [pic], получаем [pic], значит [pic], что и
требовалось доказать.
Применяя лемму, из (4) имеем, что [pic], [pic], поэтому [pic] и
теорема доказана.
Для ознакомления с более глубокими результатами теории дзета-функции
Римана могу отослать заинтересованного читателя к прилагаемому списку
использованной литературы.
Список использованной литературы.
1. Титчмарш Е.К. Теория дзета-функции Римана. Череповец, 2000 г.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
том II. М.,1970 г.
3. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного.
М.,1999 г.
4. Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию
чисел. М.,1987 г.
5. Шафаревич З.А. Теория чисел. М.,1986г.
| |  скачать работу |
Дзета-функция Римана |
