Дзета-функция Римана
Другие рефераты
Функция – одно из основных понятий во всех естественнонаучных
дисциплинах. Не случайно ещё в средней школе дети получают интуитивное
представление об этом понятии. Со школьной скамьи наш багаж знаний
пополняется сведениями о таких функциях как линейная, квадратичная,
степенная, показательная, тригонометрические и других. В курсе высшей
математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда добавляются
интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма- и бета-
функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует. Это
понятие является в математике первичным, аксиоматизируется. Однако, под
функцией понимают закон, правило, по которому каждому элементу какого-то
множества X ставится в соответствие один или несколько элементов множества
Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y – значениями
функции. Если каждому аргументу соответствует одно значение, функция
называется однозначной, если более одного – то многозначной. Синонимом
функции является термин «отображение». В простейшем случае множество X
может быть подмножеством поля действительных R или комплексных C чисел.
Тогда функция называется числовой. Нам будут встречаться только такие
отображения.
Функции могут быть заданы многими различными способами: словесным,
графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы будем рассматривать в
этой работе, задаётся через бесконечный ряд. Но, несмотря на такое
нестандартное определение, по своему представлению в виде ряда она может
быть хорошо изучена методами теории рядов и плодотворно применена к
различным теоретическим и прикладным вопросам математики и смежных с ней
наук.
Конечно же, речь идёт о знаменитой дзета-функции Римана, имеющей
широчайшие применения в теории чисел. Впервые ввёл её в науку великий
швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её свойства.
Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик Бернгард
Риман. В честь него она получила своё название, так как он опубликовал
несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой функции. В них
он распространил дзета-функцию на область комплексных чисел, нашёл её
аналитическое продолжение, исследовал количество простых чисел, меньших
заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого числа с участием
функции [pic] и высказал свою гипотезу о нулях дзета-функции, над
доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются лучшие умы
человечества уже почти 150 лет.
Научная общественность считала и считает решение этой проблемы одной
из приоритетных задач. Так Давид Гильберт, выступавший на Международной
Парижской математической конференции 1900 году с подведением итогов
развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана в
список 23 проблем, подлежащих решению в новом столетии и способных
продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году американский
The Clay Mathematics Institute назвал семь задач, за решение каждой из
которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала гипотеза
Римана.
Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет
и интересным, и полезным.
Глава 1.
Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в вещественной
области, исходя из её определения с помощью ряда.
Определение. Дзета-функцией Римана ?(s) называют функцию, которая
любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
[pic]
(1)
если она существует.
Основной характеристикой любой функции является область определения.
Найдём её для нашей функции.
Пусть сначала s?0, тогда s=-t, где t принадлежит множеству
неотрицательных действительных чисел R+[pic]{0}. В этом случае [pic] и ряд
(1) обращается в ряд [pic], который, очевидно, расходится как при t>0, так
и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.
Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся
интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию [pic], где
[pic], которая является на промежутке непрерывной, положительной и
монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
1) 0<1. Тогда [pic], поэтому ряд (1) расходится и промежуток
(0;1) не входит в область определения дзета-функции;
2) s=1. Получаем [pic], то есть при s=1 дзета-функция Римана
также не определена;
3) s>1. В этом случае [pic]
[pic]. Ряд (1) сходится.
Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции
есть промежуток [pic]. На этом промежутке функция оказывается непрерывной и
дифференцируемой бесконечное число раз.
Докажем непрерывность функции ?(s) на области определения. Возьмём
произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1) в виде [pic]. Как было выше
показано, ряд [pic] сходится, а функции [pic] при s>s0 монотонно убывают и
все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0 ряд (1)
сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы
функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s0 дзета-функция
непрерывна. Ввиду произвольности s0 ?(s) непрерывна на всей области
определения.
Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока формально, найдём
производную дзета-функции Римана:
[pic]
(2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд
(2) равномерно сходится на промежутке [pic] и воспользоваться теоремой о
дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s0>1 и
представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic], начиная с n=2,
монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку
Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1. Какое
бы значение s>1 ни взять его можно заключить между [pic] и [pic], где
[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.
Таким же путём можно убедиться в существовании для дзета-функции
производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
[pic].
Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для
этого изучим сначала её поведение на бесконечности и в окрестности точки
s=1.
В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по теореме о
почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При n=1 предел равен единице,
остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].
Чтобы исследовать случай [pic], докажем некоторые вспомогательные
оценки.
Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует непрерывная,
положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на множестве
[pic], такая, что [pic], и имеет первообразную [pic], то остаток ряда
оценивается так: [pic], где [pic]. Применяя вышесказанное к ряду
(1), найдём, что необходимая функция
[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
[pic] (3).
В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть [pic]. В правом же
возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic]. Переходя
в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].
Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].
Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому [pic]. Из того, что [pic], а
[pic], вытекает доказываемое утверждение.
Можно, однако, получить ещё более точный результат для оценки
поведения дзета-функции в окрестности единицы, чем приведённые выше,
принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n
равенства [pic]. Прибавим ко всем частям неравенств (3) сумму [pic] и
вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится к единице. По правилу
Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы пока не знаем, существует ли
предел выражения [pic] при [pic], поэтому, воспользовавшись наибольшим и
наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]
[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое и последнее выражения
стремятся к эйлеровой постоянной C (C[pic]0,577). Значит [pic], а,
следовательно, существует и обычный предел и [pic].
Найденные выше пределы позволяют получить лишь приблизительное
представление о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу,
которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные
точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.
Возьмём известное разложение [pic], где [pic] - знаменитые числа
Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём
слагаемое [pic] в левую часть равенства. Слева получаем [pic]
[pic]cth[pic], а в правой части - [pic], то есть [pic]cth[pic]. Заменяем
[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].
С другой стороны, существует равенство cth[pic], из которого
[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic] [pic].
Если [pic], то для любого [pic]N [pic] [pic] и по теореме о сложении
бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].
Приравняем полученные разложения: [pic]
[pic], следовательно [pic]. О
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
