Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Дзета-функция Римана



 Другие рефераты
Исследования Венеры космическими аппаратами История исследования НЛО История названий созвездий Квазары

Функция  –  одно  из  основных  понятий  во  всех   естественнонаучных
дисциплинах. Не случайно ещё  в  средней  школе  дети  получают  интуитивное
представление  об  этом  понятии.  Со  школьной  скамьи  наш  багаж   знаний
пополняется  сведениями  о  таких  функциях  как   линейная,   квадратичная,
степенная,  показательная,  тригонометрические  и  других.  В  курсе  высшей
математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда  добавляются
интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма-  и  бета-
функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
      Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует.  Это
понятие является в  математике  первичным,  аксиоматизируется.  Однако,  под
функцией понимают закон, правило, по  которому  каждому  элементу  какого-то
множества X ставится в соответствие один или несколько  элементов  множества
Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y  –  значениями
функции.  Если  каждому  аргументу  соответствует  одно  значение,   функция
называется однозначной, если  более  одного  –  то  многозначной.  Синонимом
функции является термин  «отображение».  В  простейшем  случае  множество  X
может быть подмножеством поля действительных  R  или  комплексных  C  чисел.
Тогда функция  называется  числовой.  Нам  будут  встречаться  только  такие
отображения.
      Функции могут быть заданы  многими  различными  способами:  словесным,
графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы  будем  рассматривать  в
этой  работе,  задаётся  через  бесконечный  ряд.  Но,  несмотря  на   такое
нестандартное определение, по своему представлению в  виде  ряда  она  может
быть  хорошо  изучена  методами  теории  рядов  и  плодотворно  применена  к
различным теоретическим и прикладным вопросам математики  и  смежных  с  ней
наук.
      Конечно же, речь  идёт  о  знаменитой  дзета-функции  Римана,  имеющей
широчайшие применения в теории  чисел.  Впервые  ввёл  её  в  науку  великий
швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её  свойства.
Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик  Бернгард
Риман. В честь него она получила  своё  название,  так  как  он  опубликовал
несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой  функции.  В  них
он распространил  дзета-функцию  на  область  комплексных  чисел,  нашёл  её
аналитическое продолжение,  исследовал  количество  простых  чисел,  меньших
заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого  числа  с  участием
функции  [pic]  и  высказал  свою  гипотезу  о  нулях   дзета-функции,   над
доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются  лучшие  умы
человечества уже почти 150 лет.
       Научная общественность считала и считает решение этой проблемы  одной
из приоритетных задач. Так  Давид  Гильберт,  выступавший  на  Международной
Парижской  математической  конференции  1900  году  с   подведением   итогов
развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана  в
список  23  проблем,  подлежащих  решению  в  новом  столетии  и   способных
продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году  американский
The Clay Mathematics Institute назвал  семь  задач,  за  решение  каждой  из
которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала  гипотеза
Римана.
      Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет
и интересным, и полезным.



                                  Глава 1.

      Итак, приступим к изучению  этой  важной  и  интересной  дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в  вещественной
области, исходя из её определения с помощью ряда.
      Определение. Дзета-функцией  Римана  ?(s)  называют  функцию,  которая
любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
      [pic]
                                    (1)
если она существует.
      Основной характеристикой любой функции является  область  определения.
Найдём её для нашей функции.
      Пусть  сначала  s?0,  тогда  s=-t,   где   t   принадлежит   множеству
неотрицательных действительных чисел R+[pic]{0}. В этом случае [pic]  и  ряд
(1) обращается в ряд [pic], который, очевидно, расходится как при  t>0,  так
и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.
      Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда  (1)  воспользуемся
интегральным признаком Коши. При каждом  s  рассмотрим  функцию  [pic],  где
[pic],  которая  является  на  промежутке   непрерывной,   положительной   и
монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
           1) 0<1. Тогда [pic], поэтому ряд (1)  расходится  и  промежуток
              (0;1) не входит в область определения дзета-функции;
           2) s=1. Получаем [pic], то  есть  при  s=1  дзета-функция  Римана
              также не определена;
           3) s>1.   В   этом    случае     [pic]
[pic]. Ряд (1) сходится.
      Обобщив результаты, находим,  что  область  определения  дзета-функции
есть промежуток [pic]. На этом промежутке функция оказывается непрерывной  и
дифференцируемой бесконечное число раз.
      Докажем непрерывность функции ?(s)  на  области  определения.  Возьмём
произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1)  в  виде  [pic].  Как  было  выше
показано, ряд [pic] сходится, а функции [pic] при s>s0 монотонно  убывают  и
все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0  ряд  (1)
сходится   равномерно.   Используя    теорему    о    непрерывности    суммы
функционального  ряда,  получаем,  что  в  любой  точке  s>s0  дзета-функция
непрерывна.  Ввиду  произвольности  s0  ?(s)  непрерывна  на  всей   области
определения.
      Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока  формально,  найдём
производную дзета-функции Римана:
      [pic]
                               (2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться  в  том,  что  ряд
(2) равномерно сходится на промежутке [pic]  и  воспользоваться  теоремой  о
дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое  s0>1  и
представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic],  начиная  с  n=2,
монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по  признаку
Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1.  Какое
бы значение s>1 ни взять его  можно  заключить  между  [pic]  и  [pic],  где
[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.
      Таким же путём  можно  убедиться  в  существовании  для  дзета-функции
производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
      [pic].
      Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для
этого изучим сначала её поведение на бесконечности  и  в  окрестности  точки
s=1.
      В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по  теореме  о
почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При  n=1  предел  равен  единице,
остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].
      Чтобы исследовать  случай  [pic],  докажем  некоторые  вспомогательные
оценки.
       Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует  непрерывная,
положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на  множестве
[pic], такая, что [pic],  и  имеет  первообразную  [pic],  то  остаток  ряда
оценивается   так: [pic], где [pic].   Применяя   вышесказанное    к    ряду
(1),   найдём,  что   необходимая  функция
[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
      [pic]                                                             (3).
В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть  [pic].  В  правом  же
возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic].  Переходя
в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].
      Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].
Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому  [pic].  Из  того,  что  [pic],  а
[pic], вытекает доказываемое утверждение.
      Можно,  однако,  получить  ещё  более  точный  результат  для   оценки
поведения  дзета-функции  в  окрестности  единицы,  чем  приведённые   выше,
принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном  n
равенства [pic]. Прибавим ко  всем  частям  неравенств  (3)  сумму  [pic]  и
вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится  к  единице.  По  правилу
Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы  пока  не  знаем,  существует  ли
предел выражения [pic] при [pic],  поэтому,  воспользовавшись  наибольшим  и
наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]
[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое  и  последнее  выражения
стремятся  к  эйлеровой  постоянной  C  (C[pic]0,577).  Значит   [pic],   а,
следовательно, существует и обычный предел и [pic].
        Найденные  выше  пределы  позволяют  получить  лишь  приблизительное
представление о виде  графика  дзета-функции.  Сейчас  мы  выведем  формулу,
которая  даст  возможность  нанести  на  координатную  плоскость  конкретные
точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.
      Возьмём известное разложение  [pic],  где  [pic]  -  знаменитые  числа
Бернулли  (по  сути,  через  него  эти  числа  и  определяются).   Перенесём
слагаемое  [pic]   в   левую   часть   равенства.   Слева   получаем   [pic]
[pic]cth[pic], а в правой части - [pic],  то  есть  [pic]cth[pic].  Заменяем
[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].
      С  другой  стороны,  существует  равенство   cth[pic],   из   которого
[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic]  [pic].
Если [pic], то для любого  [pic]N  [pic]  [pic]  и  по  теореме  о  сложении
бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].
      Приравняем полученные разложения: [pic]
 [pic], следовательно [pic]. О
123
скачать работу


 Другие рефераты
Классическая философия
История экономических учений
Банктер мен банктен тыс мекемелердің несиелерін есепке алу
Төлеген Айбергенов


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ