Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Дзета-функция Римана



 Другие рефераты
Исследования Венеры космическими аппаратами История исследования НЛО История названий созвездий Квазары

Функция  –  одно  из  основных  понятий  во  всех   естественнонаучных
дисциплинах. Не случайно ещё  в  средней  школе  дети  получают  интуитивное
представление  об  этом  понятии.  Со  школьной  скамьи  наш  багаж   знаний
пополняется  сведениями  о  таких  функциях  как   линейная,   квадратичная,
степенная,  показательная,  тригонометрические  и  других.  В  курсе  высшей
математики круг известных функций значительно расширяется. Сюда  добавляются
интегральные и гиперболические функции, эйлеровы интегралы (гамма-  и  бета-
функции), тета-функции, функции Якоби и многие другие.
      Что же такое функция? Строгого определения для неё не существует.  Это
понятие является в  математике  первичным,  аксиоматизируется.  Однако,  под
функцией понимают закон, правило, по  которому  каждому  элементу  какого-то
множества X ставится в соответствие один или несколько  элементов  множества
Y. Элементы множества X называются аргументами, а множества Y  –  значениями
функции.  Если  каждому  аргументу  соответствует  одно  значение,   функция
называется однозначной, если  более  одного  –  то  многозначной.  Синонимом
функции является термин  «отображение».  В  простейшем  случае  множество  X
может быть подмножеством поля действительных  R  или  комплексных  C  чисел.
Тогда функция  называется  числовой.  Нам  будут  встречаться  только  такие
отображения.
      Функции могут быть заданы  многими  различными  способами:  словесным,
графическим, с помощью формулы. Функция, которую мы  будем  рассматривать  в
этой  работе,  задаётся  через  бесконечный  ряд.  Но,  несмотря  на   такое
нестандартное определение, по своему представлению в  виде  ряда  она  может
быть  хорошо  изучена  методами  теории  рядов  и  плодотворно  применена  к
различным теоретическим и прикладным вопросам математики  и  смежных  с  ней
наук.
      Конечно же, речь  идёт  о  знаменитой  дзета-функции  Римана,  имеющей
широчайшие применения в теории  чисел.  Впервые  ввёл  её  в  науку  великий
швейцарский математик и механик Леонард Эйлер и получил многие её  свойства.
Далее активно занимался изучением дзета-функции немецкий математик  Бернгард
Риман. В честь него она получила  своё  название,  так  как  он  опубликовал
несколько исключительно выдающихся работ, посвящённых этой  функции.  В  них
он распространил  дзета-функцию  на  область  комплексных  чисел,  нашёл  её
аналитическое продолжение,  исследовал  количество  простых  чисел,  меньших
заданного числа, дал точную формулу для нахождения этого  числа  с  участием
функции  [pic]  и  высказал  свою  гипотезу  о  нулях   дзета-функции,   над
доказательством или опровержением которой безрезультатно бьются  лучшие  умы
человечества уже почти 150 лет.
       Научная общественность считала и считает решение этой проблемы  одной
из приоритетных задач. Так  Давид  Гильберт,  выступавший  на  Международной
Парижской  математической  конференции  1900  году  с   подведением   итогов
развития науки и рассмотрением планов на будущее, включил гипотезу Римана  в
список  23  проблем,  подлежащих  решению  в  новом  столетии  и   способных
продвинуть науку далеко вперёд. А на рубеже веков, в 2000 году  американский
The Clay Mathematics Institute назвал  семь  задач,  за  решение  каждой  из
которых будет выплачен 1 миллион долларов. В их число также попала  гипотеза
Римана.
      Таким образом, даже бы поверхностное знакомство с дзета-функцией будет
и интересным, и полезным.



                                  Глава 1.

      Итак, приступим к изучению  этой  важной  и  интересной  дзета-функции
Римана. В данной главе мы получим некоторые свойства функции в  вещественной
области, исходя из её определения с помощью ряда.
      Определение. Дзета-функцией  Римана  ?(s)  называют  функцию,  которая
любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда
      [pic]
                                    (1)
если она существует.
      Основной характеристикой любой функции является  область  определения.
Найдём её для нашей функции.
      Пусть  сначала  s?0,  тогда  s=-t,   где   t   принадлежит   множеству
неотрицательных действительных чисел R+[pic]{0}. В этом случае [pic]  и  ряд
(1) обращается в ряд [pic], который, очевидно, расходится как при  t>0,  так
и при t=0. То есть значения s?0 не входят в область определения функции.
      Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда  (1)  воспользуемся
интегральным признаком Коши. При каждом  s  рассмотрим  функцию  [pic],  где
[pic],  которая  является  на  промежутке   непрерывной,   положительной   и
монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:
           1) 0<1. Тогда [pic], поэтому ряд (1)  расходится  и  промежуток
              (0;1) не входит в область определения дзета-функции;
           2) s=1. Получаем [pic], то  есть  при  s=1  дзета-функция  Римана
              также не определена;
           3) s>1.   В   этом    случае     [pic]
[pic]. Ряд (1) сходится.
      Обобщив результаты, находим,  что  область  определения  дзета-функции
есть промежуток [pic]. На этом промежутке функция оказывается непрерывной  и
дифференцируемой бесконечное число раз.
      Докажем непрерывность функции ?(s)  на  области  определения.  Возьмём
произвольное число s0>1. Перепишем ряд (1)  в  виде  [pic].  Как  было  выше
показано, ряд [pic] сходится, а функции [pic] при s>s0 монотонно  убывают  и
все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s0  ряд  (1)
сходится   равномерно.   Используя    теорему    о    непрерывности    суммы
функционального  ряда,  получаем,  что  в  любой  точке  s>s0  дзета-функция
непрерывна.  Ввиду  произвольности  s0  ?(s)  непрерывна  на  всей   области
определения.
      Теперь почленным дифференцированием ряда (1), пока  формально,  найдём
производную дзета-функции Римана:
      [pic]
                               (2).
Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться  в  том,  что  ряд
(2) равномерно сходится на промежутке [pic]  и  воспользоваться  теоремой  о
дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое  s0>1  и
представим ряд (2) в виде [pic] для s>s0. Множители [pic],  начиная  с  n=2,
монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по  признаку
Абеля ряд (2) сходится равномерно при s>s0, а значит и при любом s>1.  Какое
бы значение s>1 ни взять его  можно  заключить  между  [pic]  и  [pic],  где
[pic], а [pic]; к промежутку [pic] применима вышеуказанная теорема.
      Таким же путём  можно  убедиться  в  существовании  для  дзета-функции
производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:
      [pic].
      Попытаемся построить наглядное изображение функции в виде графика. Для
этого изучим сначала её поведение на бесконечности  и  в  окрестности  точки
s=1.
      В первом случае, ввиду равномерной сходимости ряда (1), по  теореме  о
почленном переходе к пределу, имеем [pic]. При  n=1  предел  равен  единице,
остальные пределы равны нулю. Поэтому [pic].
      Чтобы исследовать  случай  [pic],  докажем  некоторые  вспомогательные
оценки.
       Во-первых, известно, что если для ряда [pic] существует  непрерывная,
положительная, монотонно убывающая функция [pic], определённая на  множестве
[pic], такая, что [pic],  и  имеет  первообразную  [pic],  то  остаток  ряда
оценивается   так: [pic], где [pic].   Применяя   вышесказанное    к    ряду
(1),   найдём,  что   необходимая  функция
[pic], а [pic] и [pic]. Отсюда, подставляя в двойное неравенство, имеем
      [pic]                                                             (3).
В левом неравенстве положим n=0, тогда [pic], то есть  [pic].  В  правом  же
возьмём n=1 и получим [pic], далее [pic], [pic] и, наконец, [pic].  Переходя
в неравенствах [pic] к пределу при [pic], находим [pic].
      Отсюда, в частности, следует, что [pic]. Действительно, положим [pic].
Тогда [pic], то есть [pic] [pic]. Поэтому  [pic].  Из  того,  что  [pic],  а
[pic], вытекает доказываемое утверждение.
      Можно,  однако,  получить  ещё  более  точный  результат  для   оценки
поведения  дзета-функции  в  окрестности  единицы,  чем  приведённые   выше,
принадлежащий Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном  n
равенства [pic]. Прибавим ко  всем  частям  неравенств  (3)  сумму  [pic]  и
вычтем [pic]. Имеем [pic]. Пусть здесь s стремится  к  единице.  По  правилу
Лопиталя легко вычислить [pic] и [pic]. Мы  пока  не  знаем,  существует  ли
предел выражения [pic] при [pic],  поэтому,  воспользовавшись  наибольшим  и
наименьшим пределами, напишем неравенства так: [pic]
[pic]. Ввиду произвольности n возьмём [pic]. Первое  и  последнее  выражения
стремятся  к  эйлеровой  постоянной  C  (C[pic]0,577).  Значит   [pic],   а,
следовательно, существует и обычный предел и [pic].
        Найденные  выше  пределы  позволяют  получить  лишь  приблизительное
представление о виде  графика  дзета-функции.  Сейчас  мы  выведем  формулу,
которая  даст  возможность  нанести  на  координатную  плоскость  конкретные
точки, а именно, определим значения [pic], где k – натуральное число.
      Возьмём известное разложение  [pic],  где  [pic]  -  знаменитые  числа
Бернулли  (по  сути,  через  него  эти  числа  и  определяются).   Перенесём
слагаемое  [pic]   в   левую   часть   равенства.   Слева   получаем   [pic]
[pic]cth[pic], а в правой части - [pic],  то  есть  [pic]cth[pic].  Заменяем
[pic] на [pic], получаем [pic]cth[pic].
      С  другой  стороны,  существует  равенство   cth[pic],   из   которого
[pic]cth[pic]. Подстановкой [pic] вместо [pic] находим [pic]cth[pic]  [pic].
Если [pic], то для любого  [pic]N  [pic]  [pic]  и  по  теореме  о  сложении
бесконечного множества степенных рядов [pic]cth[pic] [pic].
      Приравняем полученные разложения: [pic]
 [pic], следовательно [pic]. О
123
скачать работу


 Другие рефераты
Экспериментальные методы изучения космических лучей. Крупнейшие экспериментальные установки
Грядущий миропорядок
Психологические типы по Юнгу
Биологическое окисление


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ