Геометрия в пространстве
том, что изменяет расстояния и углы.
Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см.
статью «Проективная геометрия»).
Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно
сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в
бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.
Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х
прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и
есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7).
Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под
изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.
В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в
исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции)
точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными,
сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и
изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку
основного свойства параллельной проекции:
. Если АВ =k CD, а A№,B№,C№ и D№- проекции точек A,B,C и D, то
A№B№= k C№D№.
Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство —
совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если
задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и
изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX =
kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по
изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно
восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а
задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы
предопределяем изображения всех точек пространства.
В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника,
может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться:
проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а,
построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС
на ? вдоль прямой l = СС№ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный
прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в
параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм.
Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной
пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе
с соединяющими их отрезками.
Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём,
например, отношения, в которых треугольное сечение A№BD нашего куба (рис.
9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В№С№. Посмотрим
на куб со стороны бокового ребра ВВ№, а точнее говоря, спроектируем куб
вдоль прямой BD па плоскость АА№С№С. Понятно, что проекцией будет сам
прямоугольник АА№С№С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины
оснований (точки В и D совпадут;
рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а
точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем
рисунке A№Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства
параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же проекция
позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка,
на которые он рассекается плоскостью A№BD: в частности, отрезок KQ, где К —
середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, — в
отношении 1:2.
Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в
пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения
некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется
построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим
началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов
АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.
Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её
чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на
его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение
сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б;
кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из
произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость
ОАВ; получаем точки R№ и Q№. Плоскость искомого сечения пересекает
плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.
IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.
До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными
геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам
достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех
их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность
изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте,
нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие
перпендикулярности, известное из планиметрии.
Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через
точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.
Например, ясно, что ребро АА№ нашего куба перпендикулярно основанию
АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой
прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно
того, что АА№ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно
признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
. Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b,
то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.
Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают
l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны
параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в
частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно
сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой
лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:
. Через данную точку в пространстве можно провести одну и только
одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и
только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой
называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную
плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно
ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной
проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при
решении задач о расстояниях и углах в пространстве.
Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень
простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):
. Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой
плоскости тогда, когда её проекция а№ на плоскость
перпендикулярна l.
Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не
перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому,
что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.
Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC№
на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх
перпендикулярах, и сама диагональ АС№ перпендикулярна BD. По такой же
причине перпендикулярны АС№ и А№В. Отсюда следует, что диагональ
перпендикулярна «треугольному сечению» A№BD.
В стереометрии помимо обычных плоских
углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-
вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися
прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен
углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая
и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из
углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между
пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами,
проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все
названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.
Найдём, например, угол между диагоналями А№В и В№С граней нашего куба
(рис. 14). Заменим прямую В№С на параллельную ей диагональ A№D
противоположной грани; искомый угол равен углу BA№D, т. е. 60° (треугольник
BA№D равносторонний). Угол между диагональю АС№ и основанием куба равен
углу САС№ между прл* мой ас№ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg
(C№C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями BDA№ и BDC№ (рис. 14)
равен углу А№МС№, где М — середина BD, так как прямые МА№ и МС№ лежат в
этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное
вычисление даёт arccos (1/3)).
Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину
отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от
точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на
плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного
треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями,
очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой
плоскости
| |  скачать работу |
Геометрия в пространстве |
