Геометрия в пространстве
(рис. 15, а).
Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися
прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость ?, параллельную прямой b
(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b№ прямой b
на ? и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ
перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к
прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися
прямыми.
Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто
можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной
фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„'
ребром длины и: прямоугольник размером
а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС№А№ или, что то же, вдоль
диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а?2/3
(проекция вдоль диагонали куба АС№; мы видели, что прямая АС№
перпендикулярна плоскости BDA№, а потому правильный треугольник BDA, со
стороной а?2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции
можно найти, например, угол между плоскостями BDA№ и BDC№ — он равен углу
между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние
r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В№С равно расстоянию
на рис. 16, а от точки В до прямой В№С (В и B№C — изображения первой и
второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что
общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти,
что r= а/?3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между
прямыми BD и АС№ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС№
превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до
BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/?6.
Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её
проекции и угол между плоскостями:
. Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади
S многоугольника, умноженной на cos ?, где ?- угол между его
плоскостью и плоскостью проекции:
Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с
линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой
многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные
фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива
и для них.
V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.
ЗАДАЧА 1.
По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника,
расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и
сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении
нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?
ЗАДАЧА 2.
Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя
четырехугольными гранями и двумя треугольными?
ЗАДАЧА 3.
На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два
отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку
определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно,
то как?
| |  скачать работу |
Геометрия в пространстве |
