Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Геометрия в пространстве



 Другие рефераты
Геометрические построения Геометрия Геометрия чисел Граничные условия общего вида

В  своей  деятельности  человеку  повсюду  приходится  сталкиваться  с
необходимостью    изучать    форму,    размеры,    взаимное     расположение
пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие  дело  с
самыми  большими  масштабами,  и  физики,  исследующие  структуру  атомов  и
молекул. Раздел геометрии, в  котором  изучаются  такие  задачи,  называется
стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).
      Может показаться парадоксальным, но фактически понятие  «плоскость»  в
планиметрии- геометрии на плоскости - не  нужно.  Ведь  если  мы,  например,
говорим,  что  в  плоскости  многоугольника  дана  точка,   мы   тем   самым
подразумеваем,  что  такие  точки  существуют  и  вне  этой   плоскости.   В
планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной  и  той  же
единственной плоскости. В стереометрии  нам  приходится  иметь  дело  уже  с
несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу  все  известные
из  планиметрии  определения  и  теоремы,  относящиеся  к  точкам,   прямым,
расстояниям и  т.д.,  но  свойства  самих  плоскостей  необходимо  описывать
отдельно.
                                    План.


I.  Основные  аксиомы  стереометрии---------------  4          II.   Прямые,
  плоскости, параллельность------------ 6
  III. Изображение пространственных фигур------ 7  IV.  Перпендикулярность.
  Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на  построение,  воображение,
  изображение и соображение------------------------ 17
                       I.Основные аксиомы стереометрии


      Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии  добавляется  еще
одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы,  регулирующие  «взаимоотношения»
плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.
      Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических
действий» новое, третье измерение:

         . Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

      Таким образом, не все точки находятся  в  одной  плоскости.  Но  этого
недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно  много.  Это
обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:



         . Через любые три точки проходит плоскость.

      С третьей  аксиомой  мы  сталкиваемся,  когда  складываем  фигурки  из
бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.
      Аксиома пересечения плоскостей звучит так:


         . Если две плоскости имеют общую точку,  то  их  пересечение  есть
           прямая.
         . (рис.2)



      Отсюда следует: если три точки лежат на одной  прямой,  то  проходящая
через них плоскость единственная.

      Действительно, если через какие- то  три  точки  проходят  две  разные
плоскости, то через эти точки можно провести прямую,  а  именно  прямую,  по
которой  плоскости  пересекаются.  Отметим,  что  последнее  свойство   само
нередко включается в аксиомы.
      Третья аксиома играет  очень  существенную  и  неочевидную  с  первого
взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности  трехмерным,
потому что  в  пространствах  размерности  четыре  и  выше  плоскости  могут
пересекаться по  одной  точке.  К  трем  указанным   так  же  присоединяются
планометрические аксиомы, переосмысленные и  подправленные  с  учетом  того,
что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями.  Например,
аксиому прямой - через две различные точки  можно  провести  одну  и  только
одну  прямую  -  переносят  в  стереометрию  дословно,  но  только  она  уже
распространяется на две точки пространства.
      В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное  следствие:
прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит  в  этой
плоскости.

      Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости ?  (рис.  3).  Вне
плоскости ? есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство).  В
соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость  ?.
Она отлична от плоскости ?, так как содержит С и имеет с ? две общие  точки.
Значит, ? пересекается с ? по прямой, которой, как и l,  принадлежат  А,  В.
По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта  линия
лежит в плоскости ?, что и требовалось доказать.


      Путем несложных доказательств мы находим, что:
         . На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
                   II. Прямые, плоскости, параллельность.

     Уже такое основное понятие,  как  параллельность  прямых,  нуждается  в
новом определении:
две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в  одной
плоскости и не  имеют  общих  точек.  Так  что  не  попадайтесь  в  одну  из
излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь  «доказывать»,  что  через
две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно  по  определению
параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о  единственности
параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с  её  помощью  доказывают
главное свойство параллельных прямых в пространстве:
         . Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и  только
           одну прямую параллельно данной.
   Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое
транзитивностью параллельности:
         . Если две прямые а и b параллельны   третьей прямой с, то они
           параллельны друг другу.

     Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости
непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть
одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В
пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые —
если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они
скрещиваются.
  На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD —
параллельны, а АВ и В№С№ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем
прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии.
Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем
выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ
параллельна C№D№, потому что обе они параллельны общей стороне CD
содержащих их квадратов.
      В  стереометрии  отношение  параллельности   рассматривается   и   для
плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны,  если  они  не
имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и  в  том
случае, когда  лежит  в  плоскости.  Для  плоскостей  и  прямых  справедливы
теоремы о транзитивности:
         .  Если  две  плоскости  параллельны  третьей  плоскости,  то  они
           параллельны между собой.
         . Если  прямая  и  плоскость  параллельны  некоторой  прямой(  или
           плоскости), то они параллельны друг другу.
      Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак  параллельности
прямой и плоскости:
          . Прямая параллельна плоскости,  если  она  параллельна  некоторой
            прямой в этой плоскости.
      А вот признак параллельности плоскостей:
          . Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости  соответственно
            параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то  и
            плоскости параллельны.
      Часто используется и такая простая теорема:
          . Прямые,  по  которым  две  параллельные  плоскости  пересекаются
            третьей, параллельны друг другу.
      Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака  параллельности  прямой
и плоскости следует, например, что прямая А№В№  параллельна  плоскости  АВСD
(так как она параллельна прямой АВ  в  этой  плоскости),  а  противоположные
грани  куба,  в  частности  А№В№С№D№  и  ABCD,   параллельны   по   признаку
параллельности плоскостей: прямые A№B№ и B№С№ в одной  грани  соответственно
параллельны  прямым  АВ  и  ВС  в  другой.  И  чуть  менее  простой  пример.
Плоскость,  содержащая   параллельные   прямые   AA№   и   СС№,   пересекают
параллельные плоскости АВСD и A№B№C№D№ по прямым  АС  и  А№С№,  значит,  эти
прямые   параллельны:   аналогично,   параллельные   прямые   В№С   и   А№D.
Следовательно, параллельные плоскости  АВ№С  и  А№DC,  пересекающие  куб  по
треугольникам.

                  III. Изображение пространственных фигур.

             Есть  такой  афоризм  «Геометрия  —  это  искусство   правильно
рассуждать  на  неправильном  чертеже».  Действительно,  если  вернуться  к
изложенным выше рассуждениям, то окажется:
единственная польза, которую  мы  извлекли  из  сопровождавшего  их  рисунка
куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на  объяснении  обозначений.
С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на  рис.  4,  я,  хотя,
очевидно,  представленное  на  нём  «нечто»  не  только  не  куб,  но  и  не
многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь  часть  правды.
Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое  доказательство,  надо  его
придумать. А  для  этого  нужно  ясно  представлять  себе  заданную  фигуру,
соотношения между её элементами.  Выработать  такое  представление  помогает
хороший чертёж. Более того, как мы увидим,  в  стереометрии  удачный  чертёж
может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.
      Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким,  каким  мы
его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или  центральной  проекции.  При
центральной  проекции  из  точки  О  (центр   проекции)   на   плоскость   а
произвольная точка Х изображается точкой X',  в  которой  а  пересекается  с
прямой  ОХ  (рис.   6).   Центральная   проекция   сохраняет   прямолинейное
расположение  точек,  но,  как  правило,  переводит  параллельные  прямые  в
пересекающиеся, не говоря  уже  о
123
скачать работу


 Другие рефераты
Биологическая роль железа
Проблема твердых бытовых отходов в г. Ленинске-Кузнецком. Cпособы её решения
Қазанғап күйші
Особенности памяти


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ