Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпрета-ция квантовой механики
то в процессе измерения макроприбор выделяет из
статистического ансамбля некоторый подансамбль, соответствующий данному
результату измерения. Этот постулат фактически занимает место постулата
редукции в копенгагенской интерпретации.
в)Неоклассические интерпретации квантовой механики исходят из того,
что квантовомеханическое описание в действительности не является полным.
Следовательно, должна существовать более общая теория, обеспечивающая
наличие детерминизма классического образца. По отношению к такой теории
квантовая механика была бы некоторым статистическим приближением. Наиболее
распространены неоклассические теории со скрытыми параметрами. В них
предполагается, что волновая функция (( > не полностью определяет состояние
системы. Наряду с ней существуют скрытые параметры ( , такие, что их точное
знание могло бы дать возможность предсказания результатов измерения любой
физической величины. При этом сами параметры являются статистически
распределёнными по некоторому закону, и мы не можем на практике точно
определить значение ( . Поэтому сохраняются все следствия квантовой
механики, в том числе невозможность одновременного точного измерения
некоммутирующих величин. Принципиальным в такой неоклассической
интерпретации является факт, что существует описание состояния системы (((
>, ( ), позволяющее избежать недетерминированности в предсказании
результатов измерений.
Вопрос об обратимости времени в интерпретации со скрытыми параметрами
не является ключевым, и остаётся столь же открытым, сколь и в
копенгагенской интерпретации (особенно если из последней "удалось бы
изъять" принцип редукции волновой функции).
г) Многомировая интерпретация квантовой механики (концепция Эверетта)
исходит из принципа реальности волновой функции. При этом постулируется,
что существует такая функция сразу для всей Вселенной, и нет необходимости
в мистическом "внешнем наблюдателе", отвечающем, например, за квантовые
эффекты в момент её рождения. В многомировой интерпретации место постулата
редукции волнового пакета занимает понятие "ветвления волновой функции
Вселенной", которое можно толковать либо образно – как появление
"параллельных квантовых миров", либо чисто математически, как процедуру
дефакторизации волновой функции наблюдаемого объекта [2, с.29]. При этом
возникают свои математические тонкости, связанные с предпочтительным
выбором базиса собственных состояний для каждого объекта во Вселенной,
исключающего "лишние" ветвления для ненаблюдающихся в конкретном
эксперименте объектов (своебразное применение хорошо известной "бритвы
Оккама").
Наконец, брюссельская интерпретация ограничивает применимость чистых
состояний (то есть точек в фазовом пространстве классической механики и
волновых функций в квантовой механике) введением некоего нового принципа,
который можно назвать "микроскопическим вторым началом термодинамики". При
этом отвергается представление как о реальности волновой функции в старом
смысле этого слова, так и о "классическом идеале" – в пользу новой
концепции, в основе которой лежит необратимость времени.
3.2 Неунитарная эволюция и несводимое описание
Необратимость, выражаемая стрелой времени – свойство статистическое.
Она не может быть введена на уровне отдельных траекторий (или волновых
функций) и поэтому требует радиального отхода от ньютоновской механики или
ортодоксальной квантовой механики, в основе которых лежат понятия
траектории или отдельной волновой функции. Ещё Больцман понял, что
необходим подход на основе ансамблей. Школа Пригожина реализует эту
программу с необходимой математической строгостью.
Неустойчивость и хаос вынуждают отказаться от описания классической
механики в терминах траекторий и перейти к описанию в терминах
распределения вероятности. Примером может служить рассмотренное ранее
отображение сдвига Бернулли. В разделе 1.1 был приведён явный вид
оператора с дискретным временем, описывающего эволюцию плотности
вероятности для сдвига Бернулли (применительно к отображениям подобный
оператор называется оператором Перрона–Фробениуса). В статистической
механике оператор эволюции имеет вид U(t) = e–iLt, а в квантовой механике
U(t) = e–iHt. Два последних оператора унитарны, то есть сохраняют скалярное
произведение, и в гильбертовом пространстве имеют собственные значения, по
модулю равные 1 – то есть приводят к периодическим функциям от времени типа
exp(–iEnt). В отличие от них оператор эволюции хаотических систем должен
описывать приближение к равновесию и, следовательно, содержать время
релаксации. Для этого требуются комплексные спектральные представления.
Оказалось, что для сдвига Бернулли в гильбертовом пространстве
спектрального разложения отображения не существует. Собственные функции
этого оператора не удовлетворяют условию квадратичной интегрируемости,
поэтому вместо гильбертова пространства требуется перейти к так называемому
обобщённому пространству, включающему наряду с квадратично интегрируемыми
функциями, например, ещё и (-функции типа дираковской. Собственные значения
для построенных в этом пространстве собственных функций оказываются
напрямую связанными с временем Ляпунова в хаотической системе.
На языке распределений вероятности отдельная траектория для сдвига
Бернулли представляется функцией (n=((x–xn), сдвиг Бернулли преобразует её
в (n+1=((x–xn+1)= ((x–2xn) при xn<1/2 и в (n+1=((x–xn+1)= ((x+1–2xn) при
1/2<1. Если при этом величина (n постоянна, то (n+1 также будет
постоянна, что соответствует равновесию и достигается при n((.
Рассмотрим задачу на собственные значения для оператора эволюции U.
Нетрудно проверить, что U(x–1/2) = 1/2(x–1/2). Следовательно, (x–1/2) –
собственная функция оператора U, соответствующая собственному значению 1/2.
В отличие от оператора эволюции в квантовой механике, мы получили
комплексную спектральную теорию (собственное значение соответствует k=i
ln2). Полученное значение связано с показателем Ляпунова, который в
точности равен 1/2=e–ln 2. Применение оператора U к функции x–1/2 приводит
к затуханию. Итерируя действие оператора U, мы получаем последовательность
(1/2)n, которая при n(( стремится к нулю.
Функция x–1/2 принадлежит семейству многочленов, называемых
многочленами Бернулли:
B0(x) = 1;
B1(x) = x – 1/2;
B2(x) = x2 – x + 1/6;
B3(x) = x3 – 3/2 x2 + 1/2 x;
B4(x) = x4 – 2 x3 + x2 – 1/30;
. . .
На первый взгляд может показаться, что задача на собственные значения
для сдвига Бернулли решена, но это не так. Рассмотрим теперь оператор U+,
сопряжённый с оператором U (сопряжённый оператор определяется соотношением
= ). Нетрудно показать, что он имеет вид:
[pic]
Можно также показать, что оператор U+ – изометрический, то есть
сохраняет скалярное произведение (однако в отличие от унитарного
изометрический оператор не допускает обратного, из чего следует, что сдвиг
Бернулли – не обратимое отображение). Задача на собственные значения
U+f(x)=(f(x) не имеет других решений в классе непрерывных функций, кроме
постоянной. Таким образом, сдвиг Бернулли не имеет спектрального
представления в гильбертовом пространстве. Однако U+ имеет собственные
функции и собственные значения в обобщённых пространствах. Например:
U+[((x–1)–((x)]=1/2 [((x–1)–((x)],
следовательно, мы имеем собственную функцию оператора U+, которая
принадлежит к классу обобщённых функций и имеет такое же собственное
значение, какое первый многочлен Бернулли имеет для оператора U. Обозначим
поэтому найденную функцию B(1)(x).
Существует целое семейство обобщенных функций B(n)(x), которые
являются собственными функциями оператора U+ и соответствуют собственным
значениям 1/2n. Эти функции не имеют конечной нормы, что вынуждает к
переходу в обобщённое пространство. Их семейство, однако, обладает
свойствами ортогональности и полноты.
Таким образом, как и в квантовой механике, мы можем разложить
вероятность ((x) по биортонормированному семейству функций:
[pic].
Распространяя скалярное произведение на обобщённые функции, необходимо
сделать некоторые существенные замечания. Основное свойство (-функции
состоит в том, что при интегрировании с обычной непрерывной функции она
"вырезает" её значение в точке x=x0. Для корректности скалярного
произведения , где f – обобщённая функция, необходимо, чтобы g была
подходящей функцией, обеспечивающей сходимость скалярного произведения.
Она, очевидно, не должна принимать бесконечных значений – во всяком случае,
в точке x=x0. Назовём такие функции пробными.
Мы можем определить действие оператора A на обобщённую функцию f с
помощью соотношения = – но такое соотношение вполне определено
только при том условии, что A+g остаётся пробной функцией. Задача на
собственные значения A|f> = (|f> также имеет смысл только в том случае,
если пользоваться пробными функциями g такими, что
| |  скачать работу |
Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпрета-ция квантовой механики |
