Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпрета-ция квантовой механики
= (.
Возвращаясь к спектральному представлению эволюции при сдвиге
Бернулли, делаем вывод: так как B(n) – обобщённые функции, ((x) должна быть
пробной функцией, так как в противном случае ей бы соответствовала (-
функция, для которой скалярное произведение с B(n) расходится.
Спектральные теории Пригожина применимы только для ансамблей
траекторий – это фундаментальный результат. Для хаотических систем, а сдвиг
Бернулли – простейший из примеров таких систем, вероятностное описание
следует строить не в гильбертовом, а в обобщённом пространстве, и оно
несводимо. В этом – принципиальное отличие брюссельского подхода от подхода
на основе теории ансамблей Гиббса–Эйнштейна: их описание было сводимо,
поскольку могло быть разложено на описания отдельных траекторий.
Мы подходим к важному вопросу: что означает действие оператора
эволюции U(t) на обобщённую функцию? Это соотношение имеет вполне
определённый смысл, если U+(t)g остаётся пробной функцией. Для хаотических
систем это условие, как правило, не выполняется и при t>0, и при t<0.
Пробные функции для прошлого отличаются от пробных функций для будущего.
Этот факт приводит к нарушению симметрии во времени и лежит в основе
решения парадокса времени, предлагаемого брюссельской школой.
Рассмотренное выше отображение пекаря также допускает спектральное
представление в гильбертовом пространстве, однако собственные значения его
оператора Перрона–Фробениуса не имеют при этом отношения к времени Ляпунова
– таким образом, хаотические свойства остаются "за кадром". Оказывается всё-
таки, что некоторые хаотические системы – и преобразование пекаря в
частности – допускают дополнительные спектральные представления. Помимо
спектрального представления оператора эволюции в гильбертовом пространстве
можно построить новое представление в обобщённом гильбертовом пространстве,
которое связывает эволюцию во времени с временем Ляпунова.
Может возникнуть вопрос – так какое же представление правильное? С
математической точки зрения они оба вполне корректны. Однако комплексные
представления в обобщённом пространстве позволяют продвинуться значительно
дальше, так как включают в спектр оператора эволюции время Ляпунова,
которое характеризует временной горизонт хаотических систем. Новые
представления позволяют описывать приближение к равновесию, явно описывают
нарушение симметрии во времени и включают необратимость на фундаментальном
уровне описания.
Весьма важно, что новые представления несводимы. Неоднократно
утверждалось, что хаос, связанный с чувствительностью к начальным условиям,
приводит к "невычислимым" траекториям. Казалось, что это чисто техническая
трудность. Как теперь понятно, причина гораздо более глубокая. Существует
своего рода соотношение дополнительности в боровском смысле между
необратимостью на уровне статистических ансамблей, с одной стороны, и
траекторий – с другой.
На простейших хаотических примерах мы проиллюстрировали, как в
концепции Пригожина возникает необходимость несводимого описания и как в
этом несводимом описании проявляется стрела времени. Обратимся теперь к
выводам, которые аналогичный подход даёт в квантовой теории (объём
настоящей работы не позволяет подробно описать математические особенности
применения этого подхода). Приведём только один пример.
В операторе эволюции U(t)=e–iHt будущее и прошлое играют одну и ту же
роль, так как независимо от того, какие знаки имеют t1 и t2 выполняется
свойство U(t1+t2) = U(t1) + U(t2). Принято говорить, что оператор эволюции
U(t) образует динамическую группу. Пробные функции же принадлежат двум
различным классам в зависимости от того, какую эволюцию – прямую (в
будущее) или обратную (в прошлое) – мы рассматриваем. Это означает, что
динамическая группа, порождаемая оператором эволюции U(t), распадается на
две полугруппы – одну для оператора U(+t), другую – для U(–t).
Введение стрелы времени позволяет сделать шаг вперёд в рассмотрении
уже упоминавшихся больших систем Пуанкаре – например, в задаче рассеяния.
Возникающие в теории возмущений малые знаменатели вида [pic] регуляризуются
введением малой мнимой добавки: [pic] при ( ( (. Это устраняет расходимость
– но такая добавка есть не что иное, как введение хронологического
упорядочения на микроскопическом уровне! В результате симметричное во
времени уравнение Шрёдингера порождает два класса решений, одно из которых
соответствует прямому. а другое – обратному рассеянию. Решение уравнений
обладает меньшей симметрией, чем уравнения движения.
Аналогичный подход в квантовой статистической теории – решение задачи
на собственные значения супероператора Лиувилля – также приводит к
необходимости мнимой добавки в знаменатель, и собственные функции
супероператора Лиувилля перестают быть произведениями волновых функций.
Получающиеся уравнения Лиувилля–фон Неймана не могут быть выведены из
уравнения Шрёдингера. В этом смысле концепция Пригожина приводит к
альтернативной квантовой теории.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В концепции И.Пригожина необратимость процессов во времени вводится на
микроскопическом уровне. В квантовой теории это достигается рассмотрением
пространства обобщённых функций вместо обычного гильбертова пространства,
при этом оператор эволюции системы перестаёт быть унитарным, а его
собственные значения становятся комплексными. Мнимая часть этих собственных
значений после подстановки в уравнение Шрёдингера отвечает за затухание,
что соответствует необратимости времени.
Другая важная черта квантовой теории в концепции Пригожина –
принципиальная несводимость получаемых решений к волновым функциям
отдельных частиц. Статистическое описание с использованием матрицы
плотности становится необходимым с самого начала, мы больше не можем
рассуждать иначе, как в терминах ансамблей.
В отличие от копенгагенской интерпретации квантовой механики, не
требуется постулата о редукции волнового пакета и существования внешнего
наблюдателя с классическим прибором. В этом есть некоторое сходство с
многомировой интерпретацией Эверетта, так как можно вводить понятие
волновой функции Вселенной. Однако, математический аппарат теории Пригожина
не требует введения процесса дефакторизации волновой функции и сложных
процедур выбора базиса, связанного с объектом.
Введение вероятностей в концепции Пригожина вполне совместимо с
физическим реализмом, и его не требуется объяснять неполнотой нашего
знания. Наблюдатель более не играет активной роли в эволюции природы – по
крайней мере, играет роль не большую, чем в классической физике. Эта роль
крайне далека от роли демиурга, которой копенгагенская интерпретация
квантовой физики наделяет наблюдателей, считая их ответственными за переход
от потенциальной возможности природы к актуальности.
Самым же, вероятно, важным, является то, что одна и та же
математическая структура, включающая в себя хаос, позволяет решить и
парадокс времени, и квантовый парадокс – две проблемы, которые омрачали
горизонты физики на протяжении многих-многих лет.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант – М.: Прогресс, 1994
2. Барвинский А.О., Каменщик А.Ю., Пономарёв В.Н. Фундаментальные
проблемы интерпретации квантовой механики. Современный подход – М.: Изд-во
МГПИ, 1988
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.1, Механика – М.:
Наука, 1988
4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.3, Квантовая
механика. Нерелятивистская теория – М.: Наука, 1990
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.5, Статистическая
физика. Часть 1 – М.: Наука, 1988
6. Эйнштейн А. Собрание сочинений в четырёх томах, т.3 – ст.
Испускание и поглощение излучения по квантовой теории – М.: Наука, 1966
| |  скачать работу |
Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпрета-ция квантовой механики |
