Интеграл и его свойства
ем многочлен, получившийся
в числителе, многочлену Pn(x).
Метод частных значений. При нахождении неопределенных
коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при
одинаковых степенях х, можно дать переменной х несколько частных
значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким
образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов.
Особенно выгодно применять этот метод в случае, корни знаменателя
рациональной дроби [pic] просты и действительны. Тогда оказывается
удобным последовательно полагать равным каждому из корней знаменателя.
Правило интегрирования рациональных дробей. Для того
чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо выполнить
следующие действия:
1) если рассматриваемая рациональная дробь [pic] - неправильная (k?m),
представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной
дроби:
[pic]
где n < m; R(x) – многочлен;
2) если рассматриваемая рациональная дробь [pic] - правильная (n < m),
представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей по формуле
(6);
3) интеграл от рациональной дроби представить в виде суммы интегралов от
целой части и от соответствующих простейших дробей и вычислить эти
интегралы.
7. Интегрирование выражений, содержащие тригонометрические функции.
Интегралы вида [pic] Универсальная подстановка. Будем
рассматривать интегралы вида:
[pic] - (7)
при условии, что они не являются табличными. Вычислить их можно
различными методами, изложенными ранее. Иногда бывает достаточно
преобразовать подынтегральное выражение, использовав
тригонометрические формулы, применить методы «подведения» множителя
под знак дифференциала, замены переменной или интегрирования по
частям.
Для вычисления интеграла вида (7) существует общая универсальная
схема вычисления, основанная на универсальной тригонометрической
подстановке [pic].
Интегралы вида [pic][pic] (m, n є Z, m ? 0, n ? 0). Если хотя бы
одно из чисел m и n – нечетное, то, отделяя от нечетной степени один
сомножитель и выражая с помощью формулы sin2x+cos2x=1 оставшуюся
четную степень через конфункцию, приходим к табличному интегралу.
Интегралы вида [pic], [pic], (n є N, n > 1). Эти интегралы
вычисляются подстановками tgx= t и ctgx=t соответсвенно.
Если t=tgx, то x=arctgt, [pic]. Тогда:
[pic].
Последний интеграл при n ? 2 является интегралом от неправильной
рациональной дроби, которая вычисляется по правилу интегрирования
рациональных дробей.
Аналогично если t=ctgx, то x=arcctgt, [pic], откуда:
[pic]
Интегралы вида [pic] [pic] [pic] (m, n є R). Они вычисляются
путем разложения подынтегральной функции на слагаемые по формулам:
[pic]
[pic]
[pic]
8. Интегрирование иррациональных выражений.
Интегралы вида [pic] (m1, n1, m2, n2, … - целые числа). В этих
интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной
интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=ts,
где s – общий знаменатель дробей [pic], [pic], … При такой замене
переменной все отношения [pic]= r1, [pic]= r2, … являются целыми
числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от
переменной t:
[pic][pic]
Интегралы вида [pic] (m1, n1, m2, n2, … - целые числа). Эти
интегралы подстановкой:
[pic]
где s – общий знаменатель дробей [pic], [pic], …, сводятся к
рациональной функции от переменной t.
Интегралы вида [pic] [pic] [pic] Для вычисления интеграла I1
выделяется полный квадрат под знаком радикала:
[pic]
и применяется подстановка:
[pic], dx=du.
В результате этот интеграл сводится к табличному: [pic]
В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения,
стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде
суммы двух интегралов:
[pic]
[pic]
[pic][pic]
[pic]
где I1 – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1
подстановкой:
[pic] [pic]
Интеграл вида [pic] Частные случаи вычисления интегралов данного
вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных
приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на
применении тригонометрических подстановок.
Квадратный трехчлен ax2+bx+c путем выделения полного квадрата и
замены переменной может быть представлен в виде [pic] Таким образом,
достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
[pic] [pic] [pic]
Интеграл [pic]подстановкой
u=ksint (или u=kcost)
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Интегралы вида [pic] (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые
интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома [pic],
выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
1) если p є Z, то применяется подстановка:
x=ts,
где s – общий знаменатель дробей m и n;
2) если [pic] Z, то используется подстановка:
a+bxn=ts,
где s – знаменатель дроби [pic]
3) если [pic] Z, то применяется подстановка:
ax-n+b=ts,
где s – знаменатель дроби [pic]
9. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл.
Определение. Если существует конечный передел интегральной суммы
(8)
[pic] - (8)
при ?>0, не зависящий от способа разбиения ?n отрезка [a; b] на
частичные отрезки и выбора промежуточных точек ?k, то этот предел
называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции
f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:
[pic]
Если указанный предел существует, то функция f(x) называется
интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При
этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) –
подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b –
соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому
стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения ?
стремится к нулю.
Геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция
y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и f(x) ? 0. Фигура, ограниченная
графиком АВ функции y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох (рис. 1),
называется криволинейной трапецией.
Интегральная сумма и ее слагаемые имеют простой геометрический
смысл: произведение [pic] равно площади прямоугольника с основанием
[pic] и высотой [pic], а сумма [pic] представляет собой площадь
заштрихованной ступенчатой фигуры (изображенной на рис. 1). Очевидно,
что эта площадь зависит от разбиения ?n отрезка [a; b] на частичные
отрезки и выбора точек ?k.
Чем меньше [pic], k=1, n, тем площадь ступенчатой фигуры ближе к
площади криволинейной трапеции. Следовательно, за точную площадь S
криволинейной трапеции принимается предел интегральной суммы при ?>0:
[pic]
Таким образом, с геометрической точки зрения определенный
интеграл от неотрицательной функции численно равен площади
соответствующей криволинейной трапеции.
10. Основные свойства определенного интеграла.
Рассмотрим свойства определенного интеграла.
1. Если нижний и верхний пределы интегрирования равны (a=b), то интеграл
равен нулю:
[pic]
Это свойство следует из определения интеграла.
2. Если f(x)=1, то
[pic]
Действительно, так как f(x)=1, то
[pic]
3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет
знак на противоположный:
[pic]
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
[pic] [pic]R.
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
интегрируемых на [a; b] функций f1(x), f2(x), …, fn(x) равен
алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых:
[pic]
6 (аддитивность определенного интеграла). Если сущес
| |  скачать работу |
Интеграл и его свойства |
