Интеграл и его свойства
твует
интегралы [pic]и [pic] то существует также интеграл [pic] и для любых
чисел a, b, c;
[pic]
7. Если f(x) ? 0 [pic][a; b], то
[pic] a < b.
8 (определенность определенного интеграла). Если интегрируемые
функции f(x) и ?(x) удовлетворяют неравенству f(x) ? ?(x) [pic][a; b],
то
[pic] a >b.
9 (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно
нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной на отрезке
[a; b], то
[pic] a < b.
10 (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;
b], то существует такая точка [pic][a; b], что
[pic]
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению
значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ?
отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.
11. Теорема о среднем.
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует
такая точка [pic][a; b], что
[pic]
т. е. определенный интеграл от переменной функции равен произведению
значения подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке ?
отрезка интегрирования [a; b] и длины b-a этого отрезка.
12. Производная определенного интеграла по верхнему пределу. Формула
Ньютона-Лейбница.
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными
пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел
интегрирования a, а верхний х изменять так, чтобы x є [a; b], то
величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:
[pic] x є [a; b],
называется определенным интегралом с переменным верхним пределом и
является функцией верхнего предела х. Здесь для удобства переменная
интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования –
буквой х.
Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной
функции f(x) по его переменному верхнему пределу существует и равна
подынтегральной функции, в которой вместо переменной интегрирования
подставлено значение верхнего предела:
[pic]
Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает правило
вычисления определенного интеграла: значение определенного интеграла
на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности значений
любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.
[pic] - (9)
13. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и в
случае неопределенного интеграла, позволяет упростить вычисления, т.
е. привести подынтегральное выражение к соответствующей табличной
форме. Применение замены переменной в определенном интеграле
базируется на следующей теореме.
Теорема. Если функция f(x) непрерывная на отрезке [a; b], а
функция x=?(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2], причем
?([t1; t2])=[a; b] и ?(t1)=a, ?(t2)=b, то справедлива формула:
[pic]- (10)
Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x) и
v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х. Тогда
d(uv)=udv+vdu. Проинтегрируем обе части последнего равенства на
отрезке [a; b]:
[pic]- (11)
С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница
[pic]
Следовательно, формула (11) принимает вид:
[pic] - (12)
Формула (12) называется формулой интегрирования по частям в
определенном интеграле.
15. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x)
? 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a; b] оси Ох, вычисляется по
формуле:
[pic]
Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и y=f2(x)[f1(x) ?
f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:
[pic]
Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t),
то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми
x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:
[pic]
где t1 и t2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ? 0 при
t1 ? t ? t2].
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в
полярных координатах уравнением ?=?(?) и двумя полярными радиусами
?=?, ?=? (? < ?), выражается интегралом:
[pic]
16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.
Если кривая y=f(x) на отрезке [a; b] - гладкая (т. е.
производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей дуги этой
кривой находится по формуле:
[pic]
При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) –
непрерывно дифференцируемые функции] длина дуги кривой,
соответствующая монотонному изменению параметра t от t1 до t2,
вычисляется по формуле:
[pic]
Если гладкая кривая задана в полярных системах координатах
уравнением ?=?(?), ? ? ? ? ?, то длина дуги равна:
[pic]
Дифференциал длины дуги. Длина дуги кривой определяется
формулой:
[pic]
где y=f(x) [pic] [a; b]. Предположим, что в этой формуле нижний
передел интегрирования остается постоянным, а верхний изменяется.
Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования буквой
t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:
[pic]
| | скачать работу |
Интеграл и его свойства |