Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Интеграл и его свойства

твует
      интегралы [pic]и [pic] то существует также интеграл [pic] и для  любых
      чисел a, b, c;
                                    [pic]
            7.   Если f(x) ? 0 [pic][a; b], то
                                [pic] a < b.
      8     (определенность  определенного  интеграла).  Если  интегрируемые
      функции f(x) и ?(x) удовлетворяют неравенству f(x) ? ?(x) [pic][a; b],
      то
                                 [pic] a >b.
      9     (об оценке определенного интеграла). Если m и М – соответственно
      нименьшее и наибольшее значения функции f(x), непрерывной  на  отрезке
      [a; b], то
                                [pic] a < b.
      10    (теорема о среднем). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;
      b], то существует такая точка [pic][a; b], что
                                    [pic]
      т. е. определенный интеграл от переменной функции  равен  произведению
      значения подынтегральной функции в  некоторой  промежуточной  точке  ?
      отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка.

  11. Теорема о среднем.
            Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;  b],  то  существует
      такая точка [pic][a; b], что
                                    [pic]
      т. е. определенный интеграл от переменной функции  равен  произведению
      значения подынтегральной функции в  некоторой  промежуточной  точке  ?
      отрезка интегрирования  [a; b] и длины b-a этого отрезка.

  12. Производная  определенного  интеграла  по  верхнему  пределу.  Формула
      Ньютона-Лейбница.
            До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с  постоянными
      пределами интегрирования a и b. Если оставить постоянным нижний предел
      интегрирования a, а верхний х изменять так,  чтобы  x  є  [a;  b],  то
      величина интеграла будет изменяться. Интеграл вида:
                              [pic] x є [a; b],
      называется определенным интегралом с  переменным  верхним  пределом  и
      является функцией верхнего предела х. Здесь  для  удобства  переменная
      интегрирования обозначена буквой t, а верхний предел интегрирования  –
      буквой х.
            Теорема.  Производная  определенного  интеграла  от  непрерывной
      функции f(x) по его переменному верхнему пределу  существует  и  равна
      подынтегральной функции, в которой  вместо  переменной  интегрирования
      подставлено значение верхнего предела:
                                    [pic]
            Формула Ньютона-Лейбница. Формула Ньютона-Лейбница дает  правило
      вычисления определенного интеграла: значение  определенного  интеграла
      на отрезке [a; b] от непрерывной функции f(x) равно разности  значений
      любой ее первообразной, вычисленной при x=b и x=a.
                                 [pic] - (9)

  13. Замена переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.
            Замена переменной в определенном интеграле. Этот метод, как и  в
      случае неопределенного интеграла, позволяет упростить  вычисления,  т.
      е. привести  подынтегральное  выражение  к  соответствующей  табличной
      форме.  Применение  замены   переменной   в   определенном   интеграле
      базируется на следующей теореме.
            Теорема. Если функция f(x) непрерывная  на  отрезке  [a;  b],  а
      функция x=?(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1; t2],  причем
      ?([t1; t2])=[a; b] и ?(t1)=a, ?(t2)=b, то справедлива формула:
                                 [pic]- (10)
            Интегрирование по частям в определенном интеграле. Пусть u(x)  и
      v(x) – дифференцируемые на отрезке [a; b] функции переменной х.  Тогда
      d(uv)=udv+vdu.  Проинтегрируем  обе  части  последнего  равенства   на
      отрезке [a; b]:
                                 [pic]- (11)
            С другой стороны, по формуле Ньютона-Лейбница
                                    [pic]
            Следовательно, формула (11) принимает вид:
                                [pic] - (12)
            Формула (12) называется  формулой  интегрирования  по  частям  в
      определенном интеграле.

  15. Вычисление площадей плоских фигур.
            Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x) [f(x)
      ? 0], прямыми x=a и x=b и отрезками [a;  b]  оси  Ох,  вычисляется  по
      формуле:
                                    [pic]
            Площадь фигуры, ограниченной кривыми y=f1(x) и  y=f2(x)[f1(x)  ?
      f2(x)] и прямыми x=a и x=b, находится по формуле:
                                    [pic]
            Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t),  y=y(t),
      то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой  кривой,  прямыми
      x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ох, выражается формулой:
                                    [pic]
      где t1 и t2 определяются из уравнений a=x(t1), b=x(t2) [y(t) ?  0  при
      t1 ? t ? t2].
            Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в
      полярных координатах уравнением ?=?(?)  и  двумя  полярными  радиусами
      ?=?, ?=? (? < ?), выражается интегралом:
                                    [pic]

  16. Определение и вычисление длины кривой, дифференциал кривой.
            Если  кривая  y=f(x)  на  отрезке  [a;  b]   -  гладкая  (т.  е.
      производная y’=f’(x) непрерывна), то длина соответствующей  дуги  этой
      кривой находится по формуле:
                                    [pic]
            При параметрическом задании кривой x=x(t), y=y(t) [x(t) и y(t) –
      непрерывно    дифференцируемые    функции]    длина    дуги    кривой,
      соответствующая  монотонному  изменению  параметра  t  от  t1  до  t2,
      вычисляется по формуле:
                                    [pic]
            Если гладкая  кривая  задана  в  полярных  системах  координатах
      уравнением ?=?(?),     ? ? ? ? ?, то длина дуги равна:
                                    [pic]



             Дифференциал  длины  дуги.  Длина  дуги   кривой   определяется
      формулой:
                                    [pic]
      где y=f(x) [pic] [a;  b].  Предположим,  что  в  этой  формуле  нижний
      передел интегрирования  остается  постоянным,  а  верхний  изменяется.
      Обозначим верхний предел буквой х, а переменную интегрирования  буквой
      t. Длина дуги будет функцией верхнего предела:
                                    [pic]



123
скачать работу

Интеграл и его свойства

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ