Интеграл и его свойства
Другие рефераты
Теоретические вопросы
1. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
Основной задачей дифференциального исчисления является
нахождение производной f’(x) или дифференциала df=f’(x)dx функции
f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По заданной
функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F’(х)=f(x) или
dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
Таким образом, основной задачей интегрального исчисления
является восстановление функции F(x) по известной производной
(дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет
многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно
дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.
д..
Определение. Функция F(x), [pic], называется первообразной для
функции f(x) на множестве Х, если она дифференцируема для любого
[pic]и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет
на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной
и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга
постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С – постоянная.
2. Неопределенный интеграл, его свойства.
Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x)
на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
[pic] - (1)
В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x)
– подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, а С –
постоянной интегрирования.
Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его
определения.
1. Производная из неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
выражению:
[pic] и [pic].
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме
этой функции и произвольной постоянной:
[pic]
3. Постоянный множитель а (а?0) можно выносить за знак неопределенного
интеграла:
[pic][pic]
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа
функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
[pic]
5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
[pic]
6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула
интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования
заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
[pic]
где u – дифференцируемая функция.
3. Таблица неопределенных интегралов.
Приведем основные правила интегрирования функций.
I. [pic]
II. [pic]
III. [pic]
IV. [pic]
V. [pic]
VI. [pic]
Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим,
что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может
обозначать как независимую переменную (u=x), так и функцию от
независимой переменной (u=u(x)).)
1. [pic] (n?-1).
2. [pic] (a >0, a?1).
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. [pic]
8. [pic]
9. [pic]
10. [pic]
11. [pic][pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic] (a?0).
15.[pic] (a?0).
16. [pic] (|u| > |a|).
17. [pic] (|u| < |a|).
18. [pic]
19. [pic]
Интегралы 1 – 17 называют табличными.
Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не
имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием
их правых частей.
4. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном
интеграле.
Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется
вычислить интеграл [pic], который не является табличным. Суть метода
подстановки состоит в том, что в интеграле [pic]переменную х заменяют
переменной t по формуле x=?(t), откуда dx=?’(t)dt.
Теорема. Пусть функция x=?(t) определена и дифференцируема на
некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции, на
котором определена функция f(x). Тогда если на множестве Х функция
f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
[pic] - (2)
Формула (1) называется формулой замены переменной в
неопределенном интеграле.
Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует
из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и v(x)
– две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:
d(uv)=udv+vdu. – (3)
Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
[pic]
Но так как [pic], то:
[pic] - (4)
Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям. С
помощью этой формулы отыскание интеграла [pic]. Применять ее
целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4) более прост
для вычисления, нежели исходный.
В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так как в
правой части этой формулы стоит неопределенный интеграл, содержащий
произвольную постоянную.
Приведем некоторые часто встречающиеся типы интегралов,
вычисляемых методом интегрирования по частям.
I. Интегралы вида [pic], [pic] , [pic] (Pn(x) – многочлен степени n, k –
некоторое число). Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить
u=Pn(x) и применить формулу (4) n раз.
II. Интегралы вида [pic], [pic], [pic], [pic], [pic] (Pn(x) – многочлен
степени n относительно х). Их можно найти по частым, принимая за u
функцию, являющуюся множителем при Pn(x).
III. Интегралы вида [pic], [pic] (a, b – числа). Они вычисляются двукратным
интегрированием по частям.
5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
Рациональной дробью R(x) называется дробь, числителем и
знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:
[pic]
Если степень многочлена в числителе больше или равна степени
многочлена в знаменателе (n?m), то дробь называется неправильной. Если
степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе
(n?m), то дробь называется правильной.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде
суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это
представление достигается путем деления числителя на знаменатель по
правилу деления многочленов):
[pic]
где R(x) – многочлен-частное (целая часть) дроби [pic]; Pn(x) –
остаток (многочлен степени n < m).
6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.
Интегрирование простейших дробей. Простейшей дробью называется
правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:
1) [pic]
2) [pic] (n?2);
3) [pic]
4) [pic] (n?2).
Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет
действительных корней, т. е. p2/4-q < 0.
Простейшие дроби первого и второго типов интегрируются
непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:
[pic]
[pic]
Интеграл от простейшей дроби третьего типа приводится к
табличным интегралам путем выделения в числителе дифференциала
знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:
[pic]
[pic]
[pic]
Интегрирование рациональных дробей.
Разложение рациональной дроби на простейшие дроби. Всякую
правильную рациональную дробь [pic] можно представить в виде суммы
конечного числа простейших рациональных дробей первого – четвертого
типов. Для разложения [pic] на простейшие дроби необходимо разложить
знаменатель Qm(x) на линейные и квадратные множители, для чего надо
решить уравнение:
[pic] - (5)
Теорема. Правильную рациональную дробь [pic], где [pic], можно
единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
[pic]
[pic] - (6)
(A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns – некоторые
действительные числа).
Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода
неопределенных коэффициентов состоит в следующем. Пусть дано
разложение правильной рациональной дроби [pic] по формуле (6) на
простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие
дроби к общему знаменателю Qm(x) и приравня
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
