Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Интеграл и его свойства



 Другие рефераты
Индексные числа Интеграл Пуассона Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Теоретические вопросы

   1. Понятие первообразной функции. Теорема о первообразных.
           Основной   задачей   дифференциального    исчисления    является
      нахождение производной  f’(x)  или  дифференциала  df=f’(x)dx  функции
      f(x). В интегральном исчислении решается обратная задача. По  заданной
      функции f(x) требуется найти такую функцию F(x),  что  F’(х)=f(x)  или
      dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.
             Таким  образом,  основной  задачей   интегрального   исчисления
      является  восстановление  функции  F(x)   по   известной   производной
      (дифференциалу)   этой   функции.   Интегральное   исчисление    имеет
      многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно
      дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров  тяжести  и  т.
      д..
            Определение. Функция F(x), [pic], называется  первообразной  для
      функции f(x) на множестве  Х,  если  она  дифференцируема  для  любого
      [pic]и F’(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx.
            Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x)  имеет
      на этом отрезке первообразную F(x).
            Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные  одной
      и той же функции f(x) на множестве х , то они отличаются друг от друга
      постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1x)+C, где С – постоянная.

   2. Неопределенный интеграл, его свойства.
           Определение. Совокупность F(x)+C всех первообразных функции f(x)
      на множестве Х называется неопределенным интегралом и обозначается:
                                 [pic] - (1)
           В формуле (1) f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x)
      – подынтегральной функцией, х  –  переменной  интегрирования,  а  С  –
      постоянной интегрирования.
           Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его
      определения.
   1.  Производная  из  неопределенного  интеграла   равна   подынтегральной
      функции, дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному
      выражению:
                               [pic] и [pic].
   2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме
      этой функции и произвольной постоянной:
                                    [pic]
   3. Постоянный множитель а (а?0) можно выносить  за  знак  неопределенного
      интеграла:
                                 [pic][pic]
   4.  Неопределенный  интеграл  от  алгебраической  суммы  конечного  числа
      функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
                                    [pic]
   5. Если F(x) – первообразная функции f(x), то:
                                    [pic]
           6      (инвариантность  формул  интегрирования).  Любая  формула
      интегрирования сохраняет  свой  вид,  если  переменную  интегрирования
      заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
                                    [pic]
      где u – дифференцируемая функция.
   3. Таблица неопределенных интегралов.
           Приведем основные правила интегрирования функций.
      I. [pic]
      II. [pic]
      III. [pic]
      IV. [pic]
      V. [pic]
      VI. [pic]
            Приведем таблицу основных неопределенных  интегралов.  (Отметим,
      что  здесь,  как  и  в  дифференциальном  исчислении,  буква  u  может
      обозначать  как  независимую  переменную  (u=x),  так  и  функцию   от
      независимой переменной (u=u(x)).)
      1. [pic] (n?-1).
      2. [pic] (a >0, a?1).
      3. [pic]
      4. [pic]
      5. [pic]
      6. [pic]
      7. [pic]
      8. [pic]
      9. [pic]
      10. [pic]
      11. [pic][pic]
12. [pic]
13. [pic]
14. [pic] (a?0).
15.[pic] (a?0).
16. [pic] (|u| > |a|).
17. [pic] (|u| < |a|).

18. [pic]
19. [pic]
            Интегралы 1 – 17 называют табличными.
            Некоторые из приведенных  выше  формул  таблицы  интегралов,  не
      имеющие аналога в таблице производных, проверяются  дифференцированием
      их правых частей.

   4.  Замена  переменной  и  интегрирование  по  частям  в   неопределенном
      интеграле.
           Интегрирование подстановкой (замена переменной). Пусть требуется
      вычислить интеграл [pic], который не является табличным.  Суть  метода
      подстановки состоит в том, что в интеграле [pic]переменную х  заменяют
      переменной t по формуле x=?(t), откуда dx=?’(t)dt.
           Теорема. Пусть функция x=?(t) определена  и  дифференцируема  на
      некотором множестве Т и пусть Х – множество значений этой функции,  на
      котором определена функция f(x). Тогда если  на  множестве  Х  функция
      f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула:
                                 [pic] - (2)
             Формула   (1)   называется   формулой   замены   переменной   в
      неопределенном интеграле.
            Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям следует
      из формулы дифференциала произведения двух функций. Пусть u(x) и  v(x)
      – две дифференцируемые функции переменной х. Тогда:
                            d(uv)=udv+vdu. – (3)
            Интегрируя обе части равенства (3), получаем:
                                    [pic]
            Но так как [pic], то:
                                 [pic] - (4)
            Соотношение (4) называется формулой интегрирования по частям.  С
      помощью  этой  формулы  отыскание  интеграла   [pic].   Применять   ее
      целесообразно, когда интеграл в правой части формулы (4)  более  прост
      для вычисления, нежели исходный.
            В формуле (4) отсутствует произвольная постоянная С, так  как  в
      правой части этой формулы стоит  неопределенный  интеграл,  содержащий
      произвольную постоянную.
             Приведем  некоторые  часто   встречающиеся   типы   интегралов,
      вычисляемых методом интегрирования по частям.
   I. Интегралы вида [pic], [pic] , [pic] (Pn(x) – многочлен степени n, k  –
      некоторое число).  Чтобы  найти  эти  интегралы,  достаточно  положить
      u=Pn(x) и применить формулу (4) n раз.
  II. Интегралы вида [pic], [pic], [pic], [pic], [pic]  (Pn(x)  –  многочлен
      степени n относительно х). Их можно найти по  частым,  принимая  за  u
      функцию, являющуюся множителем при Pn(x).
 III. Интегралы вида [pic], [pic] (a, b – числа). Они вычисляются двукратным
      интегрированием по частям.

   5. Разложение дробной рациональной функции на простейшие дроби.
           Рациональной  дробью  R(x)  называется   дробь,   числителем   и
      знаменателем которой являются многочлены, т. Е. всякая дробь вида:
                                    [pic]
            Если степень многочлена в числителе  больше  или  равна  степени
      многочлена в знаменателе (n?m), то дробь называется неправильной. Если
      степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе
      (n?m), то дробь называется правильной.
            Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в  виде
      суммы многочлена (целой части) и правильной  рациональной  дроби  (это
      представление достигается путем деления числителя  на  знаменатель  по
      правилу деления многочленов):
                                    [pic]
      где R(x) –  многочлен-частное  (целая  часть)  дроби  [pic];  Pn(x)  –
      остаток (многочлен степени n < m).

   6. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных дробей.
            Интегрирование простейших дробей. Простейшей  дробью  называется
      правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:
                                  1) [pic]
                               2) [pic] (n?2);

                                  3) [pic]
                               4) [pic] (n?2).
      Здесь А, a, p, q, M, N – действительные числа,  а  трехчлен  не  имеет
      действительных корней, т. е. p2/4-q < 0.
             Простейшие  дроби  первого  и   второго   типов   интегрируются
      непосредственно с помощью основных правил интегрального исчисления:
                                    [pic]
                                    [pic]
             Интеграл  от  простейшей  дроби  третьего  типа  приводится   к
      табличным  интегралам  путем  выделения  в   числителе   дифференциала
      знаменателя и приведения знаменателя к сумме квадратов:
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
            Интегрирование рациональных дробей.
                 Разложение рациональной дроби на простейшие  дроби.  Всякую
      правильную рациональную дробь [pic] можно  представить  в  виде  суммы
      конечного числа простейших рациональных дробей  первого  –  четвертого
      типов. Для разложения [pic] на простейшие дроби  необходимо  разложить
      знаменатель Qm(x) на линейные и квадратные множители,  для  чего  надо
      решить уравнение:
                                 [pic] - (5)
            Теорема. Правильную рациональную дробь [pic], где  [pic],  можно
      единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
                                    [pic]
                                 [pic] - (6)
      (A1, A2, …, Ak, B1, B2, …, B1, M1, N1, M2, M2, …, Ms, Ns  –  некоторые
      действительные числа).

                   Метод   неопределенных   коэффициентов.    Суть    метода
      неопределенных  коэффициентов  состоит   в   следующем.   Пусть   дано
      разложение правильной рациональной  дроби  [pic]  по  формуле  (6)  на
      простейшие дроби с неопределенными коэффициентами. Приведем простейшие
      дроби к общему знаменателю Qm(x) и приравня
123
скачать работу


 Другие рефераты
Cистема обработки информации
МЕСТО И РОЛЬ ТЫЛА В СТРУКТУРЕ ВООРУЖЕННЫХ СИЛ. ТЫЛОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВОЙСК
Поэты серебряного века. Личность и творчество А. А. Ахматовой
Қазақ тілі фонетикасы


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ