История математики
пыток определения этих размеров и расстояний;
по своему характеру работа Аристарха была геометрической.
Величайшим математиком древности был Архимед (ок. 287–212 до н.э.). Ему
принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и
тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед всегда
стремился получить точные решения и находил верхние и нижние оценки для
иррациональных чисел. Например, работая с правильным 96-угольником, он
безукоризненно доказал, что точное значение числа ? находится между 31/7 и
310/71. Архимед доказал также несколько теорем, содержавших новые
результаты геометрической алгебры. Ему принадлежит формулировка задачи о
рассечении шара плоскостью так, чтобы объемы сегментов находились между
собой в заданном отношении. Архимед решил эту задачу, отыскав пересечение
параболы и равнобочной гиперболы.
Архимед был величайшим математическим физиком древности. Для доказательства
теорем механики он использовал геометрические соображения. Его сочинение О
плавающих телах заложило основы гидростатики. Согласно легенде, Архимед
открыл носящий его имя закон, согласно которому на тело, погруженное в
воду, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости, во
время купания, находясь в ванной, и не в силах совладать с охватившей его
радостью открытия, выбежал обнаженный на улицу с криком: «Эврика!»
(«Открыл!»)
Во времена Архимеда уже не ограничивались геометрическими построениями,
осуществимыми только с помощью циркуля и линейки. Архимед использовал в
своих построениях спираль, а Диоклес (конец 2 в. до н.э.) решил проблему
удвоения куба с помощью введенной им кривой, получившей название циссоиды.
В александрийский период арифметика и алгебра рассматривались независимо от
геометрии. Греки классического периода имели логически обоснованную теорию
целых чисел, однако александрийские греки, восприняв вавилонскую и
египетскую арифметику и алгебру, во многом утратили уже наработанные
представления о математической строгости. Живший между 100 до н.э. и 100
н.э. Герон Александрийский трансформировал значительную часть
геометрической алгебры греков в откровенно нестрогие вычислительные
процедуры. Однако, доказывая новые теоремы евклидовой геометрии, он по-
прежнему руководствовался стандартами логической строгости классического
периода.
Первой достаточно объемистой книгой, в которой арифметика излагалась
независимо от геометрии, было Введение в арифметику Никомаха (ок. 100
н.э.). В истории арифметики ее роль сравнима с ролью Начал Евклида в
истории геометрии. На протяжении более 1000 лет она служила стандартным
учебником, поскольку в ней ясно, четко и всеобъемлюще излагалось учение о
целых числах (простых, составных, взаимно простых, а также о пропорциях).
Повторяя многие пифагорейские утверждения, Введение Никомаха вместе с тем
шло дальше, так как Никомах видел и более общие отношения, хотя и приводил
их без доказательства.
Знаменательной вехой в алгебре александрийских греков стали работы Диофанта
(ок. 250). Одно из главных его достижений связано с введением в алгебру
начал символики. В своих работах Диофант не предлагал общих методов, он
имел дело с конкретными положительными рациональными числами, а не с их
буквенными обозначениями. Он заложил основы т.н. диофантова анализа –
исследования неопределенных уравнений.
Высшим достижением александрийских математиков стало создание
количественной астрономии. Гиппарху (ок. 161–126 до н.э.) мы обязаны
изобретением тригонометрии. Его метод был основан на теореме, утверждающей,
что в подобных треугольниках отношение длин любых двух сторон одного из них
равно отношению длин двух соответственных сторон другого. В частности,
отношение длины катета, лежащего против острого угла А в прямоугольном
треугольнике, к длине гипотенузы должно быть одним и тем же для всех
прямоугольных треугольников, имеющих один и тот же острый угол А. Это
отношение известно как синус угла А. Отношения длин других сторон
прямоугольного треугольника получили название косинуса и тангенса угла А.
Гиппарх изобрел метод вычисления таких отношений и составил их таблицы.
Располагая этими таблицами и легко измеримыми расстояниями на поверхности
Земли, он смог вычислить длину ее большой окружности и расстояние до Луны.
По его расчетам, радиус Луны составил одну треть земного радиуса; по
современным данным отношение радиусов Луны и Земли составляет 27/1000.
Гиппарх определил продолжительность солнечного года с ошибкой всего лишь в
61/2 минуты; считается, что именно он ввел широты и долготы.
Греческая тригонометрия и ее приложения в астрономии достигли пика своего
развития в Альмагесте египтянина Клавдия Птолемея (умер в 168 н.э.). В
Альмагесте была представлена теория движения небесных тел, господствовавшая
вплоть до 16 в., когда ее сменила теория Коперника. Птолемей стремился
построить самую простую математическую модель, сознавая, что его теория –
всего лишь удобное математическое описание астрономических явлений,
согласованное с наблюдениями. Теория Коперника одержала верх именно потому,
что как модель она оказалась проще.
Упадок Греции. После завоевания Египта римлянами в 31 до н.э. великая
греческая александрийская цивилизация пришла в упадок. Цицерон с гордостью
утверждал, что в отличие от греков римляне не мечтатели, а потому применяют
свои математические знания на практике, извлекая из них реальную пользу.
Однако в развитие самой математики вклад римлян был незначителен. Римская
система счисления основывалась на громоздких обозначениях чисел. Главной ее
особенностью был аддитивный принцип. Даже вычитательный принцип, например,
запись числа 9 в виде IX, вошел в широкое употребление только после
изобретения наборных литер в 15 в. Римские обозначения чисел применялись в
некоторых европейских школах примерно до 1600, а в бухгалтерии и столетием
позже.
ИНДИЯ И АРАБЫ
Преемниками греков в истории математики стали индийцы. Индийские математики
не занимались доказательствами, но они ввели оригинальные понятия и ряд
эффективных методов. Именно они впервые ввели нуль и как кардинальное
число, и как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде. Махавира
(850 н.э.) установил правила операций с нулем, полагая, однако, что деление
числа на нуль оставляет число неизменным. Правильный ответ для случая
деления числа на нуль был дан Бхаскарой (р. в 1114), ему же принадлежат
правила действий над иррациональными числами. Индийцы ввели понятие
отрицательных чисел (для обозначения долгов). Самое раннее их использование
мы находим у Брахмагупты (ок. 630). Ариабхата (р. 476) пошел дальше
Диофанта в использовании непрерывных дробей при решении неопределенных
уравнений.
Наша современная система счисления, основанная на позиционном принципе
записи чисел и нуля как кардинального числа и использовании обозначения
пустого разряда, называется индо-арабской. На стене храма, построенного в
Индии ок. 250 до н.э., обнаружено несколько цифр, напоминающих по своим
очертаниям наши современные цифры.
Около 800 индийская математика достигла Багдада. Термин «алгебра»
происходит от начала названия книги Аль-джебр ва-л-мукабала (Восполнение и
противопоставление), написанной в 830 астрономом и математиком аль-Хорезми.
В своем сочинении он воздавал должное заслугам индийской математики.
Алгебра аль-Хорезми была основана на трудах Брахмагупты, но в ней явственно
различимы вавилонское и греческое влияния. Другой выдающийся арабский
математик Ибн аль-Хайсам (ок. 965–1039) разработал способ получения
алгебраических решений квадратных и кубических уравнений. Арабские
математики, в их числе и Омар Хайям, умели решать некоторые кубические
уравнения с помощью геометрических методов, используя конические сечения.
Арабские астрономы ввели в тригонометрию понятие тангенса и котангенса.
Насирэддин Туси (1201–1274) в Трактате о полном четырехугольнике
систематически изложил плоскую и сферическую геометрии и первым рассмотрел
тригонометрию отдельно от астрономии.
И все же самым важным вкладом арабов в математику стали их переводы и
комментарии к великим творениям греков. Европа познакомилась с этими
работами после завоевания арабами Северной Африки и Испании, а позднее
труды греков были переведены на латынь.
СРЕДНИЕ ВЕКА И ВОЗРОЖДЕНИЕ
Средневековая Европа. Римская цивилизация не оставила заметного следа в
математике, поскольку была слишком озабочена решением практических проблем.
Цивилизация, сложившаяся в Европе раннего Средневековья (ок. 400–1100), не
была продуктивной по прямо противоположной причине: интеллектуальная жизнь
сосредоточилась почти исключительно на теологии и загробной жизни. Уровень
математического знания не поднимался выше арифметики и простых разделов из
Начал Евклида. Наиболее важным разделом математики в Средние века считалась
астрология; астрологов называли математиками. А поскольку медицинская
практика основывалась преимущественно на астрологических показаниях или
противопоказаниях, медикам не оставалось ничего другого, как стать
математиками.
Около 1100 в западноевропейской математике начался почти трехвековой период
освоения сохраненного арабами и византийскими греками наследия Древнего
мира и Востока. Поскольку арабы владели почти всеми трудами древних греков,
Европа получила обширную м
| |  скачать работу |
История математики |
