История математики
бницем (1646–1716), создателями дифференциального
исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между
ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате.
Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал
математический анализ независимо от Ньютона. В результате конфликта обмен
идеями между математиками континентальной Европы и Англии на долгие годы
оказался прерванным с ущербом для английской стороны. Английские математики
продолжали развивать идеи анализа в геометрическом направлении, в то время
как математики континентальной Европы, в том числе И.Бернулли (1667–1748),
Эйлер и Лагранж достигли несравненно б[pic]льших успехов, следуя
алгебраическому, или аналитическому, подходу.
Основой всего математического анализа является понятие предела. Скорость в
момент времени определяется как предел, к которому стремится средняя
скорость d/t, когда значение t все ближе подходит к нулю. Дифференциальное
исчисление дает удобный в вычислениях общий метод нахождения скорости
изменения функции f (x) при любом значении х. Эта скорость получила
название производной. Из общности записи f (x) видно, что понятие
производной применимо не только в задачах, связанных с необходимостью найти
скорость или ускорение, но и по отношению к любой функциональной
зависимости, например, к какому-нибудь соотношению из экономической теории.
Одним из основных приложений дифференциального исчисления являются т.н.
задачи на максимум и минимум; другой важный круг задач – нахождение
касательной к данной кривой.
Оказалось, что с помощью производной, специально изобретенной для работ с
задачами движения, можно также находить площади и объемы, ограниченные
соответственно кривыми и поверхностями. Методы евклидовой геометрии не
обладали должной общностью и не позволяли получать требуемые количественные
результаты. Усилиями математиков 17 в. были созданы многочисленные частные
методы, позволявшие находить площади фигур, ограниченных кривыми того или
иного вида, и в некоторых случаях была отмечена связь этих задач с задачами
на нахождение скорости изменения функций. Но, как и в случае
дифференциального исчисления, именно Ньютон и Лейбниц осознали общность
метода и тем самым заложили основы интегрального исчисления.
Метод Ньютона – Лейбница начинается с замены кривой, ограничивающей
площадь, которую требуется определить, приближающейся к ней
последовательностью ломаных, аналогично тому, как это делалось в
изобретенном греками методе исчерпывания. Точная площадь равна пределу
суммы площадей n прямоугольников, когда n обращается в бесконечность.
Ньютон показал, что этот предел можно найти, обращая процесс нахождения
скорости изменения функции. Операция, обратная дифференцированию,
называется интегрированием. Утверждение о том, что суммирование можно
осуществить, обращая дифференцирование, называется основной теоремой
математического анализа. Подобно тому, как дифференцирование применимо к
гораздо более широкому классу задач, чем поиск скоростей и ускорений,
интегрирование применимо к любой задаче, связанной с суммированием,
например, к физическим задачам на сложение сил.
СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА
Создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало
«высшей математики». Методы математического анализа, в отличие от понятия
предела, лежащего в его основе, выглядели ясными и понятными. Многие годы
математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, тщетно пытались дать точное
определение понятию предела. И все же, несмотря на многочисленные сомнения
в обоснованности математического анализа, он находил все более широкое
применение. Дифференциальное и интегральное исчисления стали краеугольными
камнями математического анализа, который со временем включил в себя и такие
предметы, как теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными
производными, бесконечные ряды, вариационное исчисление, дифференциальная
геометрия и многое другое. Строгое определение предела удалось получить
лишь в 19 в.
Неевклидова геометрия. К 1800 математика покоилась на двух «китах» – на
числовой системе и евклидовой геометрии. Так как многие свойства числовой
системы доказывались геометрически, евклидова геометрия была наиболее
надежной частью здания математики. Тем не менее аксиома о параллельных
содержала утверждение о прямых, простирающихся в бесконечность, которое не
могло быть подтверждено опытом. Даже версия этой аксиомы, принадлежащая
самому Евклиду, вовсе не утверждает, что какие-то прямые не пересекутся. В
ней скорее формулируется условие, при котором они пересекутся в некоторой
конечной точке. Столетиями математики пытались найти аксиоме о параллельных
соответствующую подходящую замену. Но в каждом варианте непременно
оказывался какой-нибудь пробел. Честь создания неевклидовой геометрии
выпала Н.И.Лобачевскому (1792–1856) и Я.Бойяи (1802–1860), каждый из
которых независимо опубликовал свое собственное оригинальное изложение
неевклидовой геометрии. В их геометриях через данную точку можно было
провести бесконечно много параллельных прямых. В геометрии Б.Римана
(1826–1866) через точку вне прямой нельзя провести ни одной параллельной.
О физических приложениях неевклидовой геометрии никто серьезно не помышлял.
Создание А.Эйнштейном (1879–1955) общей теории относительности в 1915
пробудило научный мир к осознанию реальности неевклидовой геометрии.
Неевклидова геометрия стала наиболее впечатляющим интеллектуальным
свершением 19 в. Она ясно продемонстрировала, что математику нельзя более
рассматривать как свод непререкаемых истин. В лучшем случае математика
может гарантировать достоверность доказательства на основе недостоверных
аксиом. Но зато математики впредь обрели свободу исследовать любые идеи,
которые могли показаться им привлекательными. Каждый математик в
отдельности был теперь волен вводить свои собственные новые понятия и
устанавливать аксиомы по своему усмотрению, следя лишь за тем, чтобы
проистекающие из аксиом теоремы не противоречили друг другу. Грандиозное
расширение круга математических исследований в конце прошлого века по
существу явилось следствием этой новой свободы.
Математическая строгость. Примерно до 1870 математики пребывали в
убеждении, что действуют по предначертаниям древних греков, применяя
дедуктивные рассуждения к математическим аксиомам, тем самым обеспечивая
своими заключениями не меньшую надежность, чем та, которой обладали
аксиомы. Неевклидова геометрия и кватернионы (алгебра, в которой не
выполняется свойство коммутативности) заставили математиков осознать, что
то, что они принимали за абстрактные и логически непротиворечивые
утверждения, в действительности зиждется на эмпирическом и прагматическом
базисе.
Создание неевклидовой геометрии сопровождалось также осознанием
существования в евклидовой геометрии логических пробелов. Одним из
недостатков евклидовых Начал было использование допущений, не
сформулированных в явном виде. По-видимому, Евклид не подвергал сомнению те
свойства, которыми обладали его геометрические фигуры, но эти свойства не
были включены в его аксиомы. Кроме того, доказывая подобие двух
треугольников, Евклид воспользовался наложением одного треугольника на
другой, неявно предполагая, что при движении свойства фигур не изменяются.
Но кроме таких логических пробелов, в Началах оказалось и несколько
ошибочных доказательств.
Создание новых алгебр, начавшееся с квартернионов, породило аналогичные
сомнения и в отношении логической обоснованности арифметики и алгебры
обычной числовой системы. Все ранее известные математикам числа обладали
свойством коммутативности, т.е. ab = ba. Кватернионы, совершившие переворот
в традиционных представлениях о числах, были открыты в 1843 У.Гамильтоном
(1805–1865). Они оказались полезными для решения целого ряда физических и
геометрических проблем, хотя для кватернионов не выполнялось свойство
коммутативности. Квартернионы вынудили математиков осознать, что если не
считать посвященной целым числам и далекой от совершенства части евклидовых
Начал, арифметика и алгебра не имеют собственной аксиоматической основы.
Математики свободно обращались с отрицательными и комплексными числами и
производили алгебраические операции, руководствуясь лишь тем, что они
успешно работают. Логическая строгость уступила место демонстрации
практической пользы введения сомнительных понятий и процедур.
Почти с самого зарождения математического анализа неоднократно
предпринимались попытки подвести под него строгие основания. Математический
анализ ввел два новых сложных понятия – производная и определенный
интеграл. Над этими понятиями бились Ньютон и Лейбниц, а также математики
последующих поколений, превратившие дифференциальное и интегральное
исчисления в математический анализ. Однако, несмотря на все усилия, в
понятиях предела, непрерывности и дифференцируемости оставалось много
неясного. Кроме того, выяснилось, что свойства алгебраических функций
нельзя перенести на все другие функции. Почти все математики 18 в. и начала
19 в. предпринимали усилия, чтобы найти строгую основу для математического
анализа, и все они потерпели неудачу. Нак
| |  скачать работу |
История математики |
