История математики
атематическую литературу. Перевод этих трудов на
латынь способствовал подъему математических исследований. Все великие
ученые того времени признавали, что черпали вдохновение в трудах греков.
Первым заслуживающим упоминания европейским математиком стал Леонардо
Пизанский (Фибоначчи). В своем сочинении Книга абака (1202) он познакомил
европейцев с индо-арабскими цифрами и методами вычислений, а также с
арабской алгеброй. В течение следующих нескольких веков математическая
активность в Европе ослабла. Свод математических знаний той эпохи,
составленный Лукой Пачоли в 1494, не содержал каких-либо алгебраических
новшеств, которых не было у Леонардо.
Возрождение. Среди лучших геометров эпохи Возрождения были художники,
развившие идею перспективы, которая требовала геометрии со сходящимися
параллельными прямыми. Художник Леон Баттиста Альберти (1404–1472) ввел
понятия проекции и сечения. Прямолинейные лучи света от глаза наблюдателя к
различным точкам изображаемой сцены образуют проекцию; сечение получается
при прохождении плоскости через проекцию. Чтобы нарисованная картина
выглядела реалистической, она должна была быть таким сечением. Понятия
проекции и сечения порождали чисто математические вопросы. Например, какими
общими геометрическими свойствами обладают сечение и исходная сцена, каковы
свойства двух различных сечений одной и той же проекции, образованных двумя
различными плоскостями, пересекающими проекцию под различными углами? Из
таких вопросов и возникла проективная геометрия. Ее основатель – Ж.Дезарг
(1593–1662) с помощью доказательств, основанных на проекции и сечении,
унифицировал подход к различным типам конических сечений, которые великий
греческий геометр Аполлоний рассматривал отдельно.
НАЧАЛО СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Наступление 16 в. в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в
алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила
арифметических действий с ними. Настоящим триумфом стало изобретение в 1614
логарифмов Дж.Непером. К концу 17 в. окончательно сложилось понимание
логарифмов как показателей степени с любым положительным числом, отличным
от единицы, в качестве основания. С начала 16 в. более широко стали
употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623–1662) и И.Барроу
(1630–1677), учитель И.Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что
такое число, как [pic], можно трактовать лишь как геометрическую величину.
Однако в те же годы Р.Декарт (1596–1650) и Дж.Валлис (1616–1703) считали,
что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию.
В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных
чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных
уравнений комплексные числа, такие как [pic], названные Декартом «мнимыми».
Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707–1783) с
успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в
начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим
представлением.
Достижения в алгебре. В 16 в. итальянские математики Н.Тарталья
(1499–1577), С.Даль Ферро (1465–1526), Л.Феррари (1522–1565) и Д.Кардано
(1501–1576) нашли общие решения уравнений третьей и четвертой степеней.
Чтобы сделать алгебраические рассуждения и их запись более точными, было
введено множество символов, в том числе +, –, Ч, [pic], =, > и <. Самым
существенным новшеством стало систематическое использование французским
математиком Ф.Виетом (1540–1603) букв для обозначения неизвестных и
постоянных величин. Это нововведение позволило ему найти единый метод
решения уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Затем математики
обратились к уравнениям, степени которых выше четвертой. Работая над этой
проблемой, Кардано, Декарт и И.Ньютон (1643–1727) опубликовали (без
доказательств) ряд результатов, касающихся числа и вида корней уравнения.
Ньютон открыл соотношение между корнями и дискриминантом [b2 – 4ac]
квадратного уравнения, а именно, что уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет
равные действительные, разные действительные или комплексно сопряженные
корни в зависимости оттого, будет ли дискриминант b2 – 4ac равен нулю,
больше или меньше нуля. В 1799 К.Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал т.н.
основную теорему алгебры: каждый многочлен n-й степени имеет ровно n
корней.
Основная задача алгебры – поиск общего решения алгебраических уравнений –
продолжала занимать математиков и в начале 19 в. Когда говорят об общем
решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в виду, что каждый
из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций
сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых
над коэффициентами a, b и с. Молодой норвежский математик Н.Абель
(1802–1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения
степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако
существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих
такое решение. Накануне своей гибели на дуэли юный французский математик
Э.Галуа (1811–1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения
разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их
коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории
Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено
понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях
математики.
Развитие теории групп служит хорошим примером преемственности творческой
работы в математике. Галуа построил свою теорию, опираясь на работу Абеля,
Абель опирался на работу Ж.Лагранжа (1736–1813). В свою очередь многие
выдающиеся математики, в том числе Гаусс и А.Лежандр (1752–1833) в своих
работах неявно использовали понятие группы. Ньютон не был чрезмерно
скромен, когда заявил: «Если я видел дальше других, то потому, что стоял на
плечах гигантов».
Аналитическая геометрия. Аналитическая, или координатная, геометрия была
создана независимо П.Ферма (1601–1665) и Р.Декартом для того, чтобы
расширить возможности евклидовой геометрии в задачах на построение. Однако
Ферма рассматривал свои работы лишь как переформулировку сочинения
Аполлония. Подлинное открытие – осознание всей мощи алгебраических методов
– принадлежит Декарту. Евклидова геометрическая алгебра для каждого
построения требовала изобретения своего оригинального метода и не могла
предложить количественную информацию, необходимую науке. Декарт решил эту
проблему: он формулировал геометрические задачи алгебраически, решал
алгебраическое уравнение и лишь затем строил искомое решение – отрезок,
имевший соответствующую длину. Собственно аналитическая геометрия возникла,
когда Декарт начал рассматривать неопределенные задачи на построение,
решениями которых является не одна, а множество возможных длин.
Аналитическая геометрия использует алгебраические уравнения для
представления и исследования кривых и поверхностей. Декарт считал
приемлемой кривую, которую можно записать с помощью единственного
алгебраического уравнения относительно х и у. Такой подход был важным шагом
вперед, ибо он не только включил в число допустимых такие кривые, как
конхоида и циссоида, но также существенно расширил область кривых. В
результате в 17–18 вв. множество новых важных кривых, таких как циклоида и
цепная линия, вошли в научный обиход.
По-видимому, первым математиком, который воспользовался уравнениями для
доказательства свойств конических сечений, был Дж.Валлис. К 1865 он
алгебраическим путем получил все результаты, представленные в V книге Начал
Евклида.
Аналитическая геометрия полностью поменяла ролями геометрию и алгебру. Как
заметил великий французский математик Лагранж, «пока алгебра и геометрия
двигались каждая своим путем, их прогресс был медленным, а приложения
ограниченными. Но когда эти науки объединили свои усилия, они
позаимствовали друг у друга новые жизненные силы и с тех пор быстрыми
шагами направились к совершенству».
Математический анализ. Основатели современной науки – Коперник, Кеплер,
Галилей и Ньютон – подходили к исследованию природы как математики.
Исследуя движение, математики выработали такое фундаментальное понятие, как
функция, или отношение между переменными, например d = kt2, где d –
расстояние, пройденное свободно падающим телом, а t – число секунд, которое
тело находится в свободном падении. Понятие функции сразу же стало
центральным в определении скорости в данный момент времени и ускорения
движущегося тела. Математическая трудность этой проблемы заключалась в том,
что в любой момент тело проходит нулевое расстояние за нулевой промежуток
времени. Поэтому определяя значение скорости в момент времени делением пути
на время, мы придем к математически бессмысленному выражению 0/0.
Задача определения и вычисления мгновенных скоростей изменения различных
величин привлекала внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу,
Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были
объединены в систематический, универсально применимый формальный метод
Ньютоном и Г.Лей
| |  скачать работу |
История математики |
