Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

История развития неевклидовой геометрии

 пересекающихся.  Через   каждую   точку
плоскости  проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей  в  этой
плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку,  на
четыре области, в двух  из  которых  проходят  прямые,  пересекающие  данную
прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут  быть
получены предельным переходом из пересекающихся –  такие  прямые  называются
расходящимися; параллельные  прямые  разграничивают  пресекающие  прямые  от
расходящихся (на рис. условно изображены прямые [pic] и  [pic],  проведенные
через точку А параллельно прямой [pic], прямые [pic]  и  [pic],  проведенные
через точку  А  и  пресекающие  прямую  [pic],  и  прямые   [pic]  и  [pic],
расходящиеся с прямой [pic]). Угол [pic]  между  прямой,  проведенной  через
точку А параллельно прямой [pic],  и  перпендикуляром,  опущенным  из  А  на
[pic],  Лобачевский  называет  «углом  параллельности»  и  показывает,   что
функция [pic], выражающая зависимость этого угла от длины а  перпендикуляра,
может быть (в современных обозначениях) записана в виде
                                                         [pic]=2arctg[pic],
                                        (1)
    где q – некоторая постоянная. При а[pic]0  угол  параллельности  всегда
острый, причем он стремится к  [pic]   при  [pic],  постоянная  же  q  может
служить на плоскости  Лобачевского абсолютной  единицей  длины,  аналогичной
абсолютной  единицей  длины,   аналогичной   единице   угла   в   евклидовом
пространстве.  Лобачевский  устанавливает  также,  что  расходящиеся  прямые
обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе  стороны  от
него, а две параллельные прямые  приближаются  друг  к  другу  и  расстояния
точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении  этих
точек. Сумма углов  треугольника  в  геометрии  Лобачевского  всегда  меньше
[pic], и если [pic]- «угловой дефект» треугольника, то есть  разность  между
[pic]и суммой его углов, то площадь треугольника S равна
    [pic],
                                           (2)
    где q –  та же постоянная, что и в формуле (1).
    Круг при стремлении его радиуса к  бесконечности  переходит  в  системе
Лобачевского не в прямую, а в особого рода кривую «предельного  круга»  -  в
настоящее  время  такие  кривые  называют  орициклами.  Сфера  при  тех   же
обстоятельствах переходит не в плоскость, а в  кривую  поверхность,  которую
Лобачевский  назвал  «предельной  сферой»,  а  в  настоящее  время   именуют
орисферой. Лобачевский отмечает,  что  на  орисфере  имеет  место  евклидова
геометрия,  причем  роль  прямых  на  ней  играют  орициклы.  Это  позволяет
Лобачевскому, опираясь  на  евклидову  тригонометрию  на  орисфере,  вывести
тригонометрию  на  плоскости  в   его   геометрической   системе.   Название
«воображаемая  геометрия»  подчеркивает,  что  эта  геометрия  относится   к
евклидовой, «употребительной»,  по  терминологии  Лобачевского,  как  мнимые
числа, «воображаемые», по его терминологии, к действительным.
    Лобачевский сразу же  поставил  вопрос  об  экспериментальной  проверке
того, какая геометрия имеет место в реальном мире  –  «употребительная»  или
«воображаемая»,  для  чего  он  решил  измерить  сумму  углов  треугольника,
образованного двумя диаметрально противоположными положениями  Земли  на  ее
орбите и Сириусом и считая  один  из  углов  этого  треугольника  прямым,  а
другой – равным  углу  параллельности,  Лобачевский  нашел,  что  эта  сумма
отличается от [pic]на разность, меньшую  ошибки  угломерных  инструментов  в
его время. «После того, - пишет Лобачевский,  -  можно  вообразить,  сколько
эта разность, на которой  основана  наша  теория  параллельных,  оправдывает
точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые  начала
рассматривать как бы строго доказанными».
    Это объясняет, что под «строгим доказательством теоремы о параллельных»
в   докладе   1826   г.   Лобачевский   понимал   невозможность   установить
экспериментальным путем ,какая из двух  геометрий  имеет  место  в  реальном
мире, откуда вытекает, что на практике можно  пользоваться  «употребительной
геометрией», не рискуя впасть в ошибку.
    Наиболее полно изложена система Лобачевского в  его  «Новых  началах  с
полной   теорией   параллельных»   (1835-1838).   Изложение   геометрии    у
Лобачевского основывается на чисто топологических свойствах прикосновения  и
сечения, конгруэнтность тел и равенство отрезков определяются по существу  с
помощью движения.
    В  позднейших  работах  Лобачевский  ввел  координаты  и  вычислил   из
геометрических соображений целый ряд новых определенных интегралов,  которым
он  специально  посвятил  работу  «Применение   воображаемой   геометрии   к
некоторым интегралам» (Учен. зап. Казан. ун-та,  1836),  многие  из  которых
были включены в дальнейшие справочники.

    Непротиворечивость геометрии Лобачевского

    Выведя  уже  в  своей  первой  работе  «О  началах  геометрии»  формулы
тригонометрии своей новой системы, Лобачевский заметил, что  «эти  уравнения
переменяются в… (уравнения)  сферической  Тригонометрии,  как  скоро  вместо
боков a, b, c ставим в [pic], [pic], [pic], но в  обыкновенной  Геометрии  и
сферической Тригонометрии везде входят одни  содержания  (т.  е.  отношения)
линий: следовательно, обыкновенная  Геометрия,  Тригонометрия  и  эта  новая
геометрия всегда будут согласованы между собой». Это означает, что  если  мы
запишем теорему косинусов, теорему синусов и двойственную теорему  косинусов
сферической тригонометрии для сферы радиуса r в виде
    [pic]
    [pic]
    то формулы тригонометрии Лобачевского можно записать  в  том  же  виде,
заменив стороны a, b, c треугольника произведениями  ai,  bi,  ci;  так  как
умножение сторон a, b, c на i равносильно умножению  на  i   радиуса  сферы,
то, полагая r=qi  и воспользовавшись известными соотношениями
    cos(ix) = ch x,  sin(ix) = i sh x,
    мы можем переписать соответственные формулы тригонометрии  Лобачевского
в виде
    [pic],
    [pic]
    [pic]
    Сам Лобачевский пользовался не функциями ch x и sh  x,  а  комбинациями
введенной им функции [pic] с тригонометрическими функциями; постоянная  q  в
этих формулах – та же, что и в формулах (1) и (2).
    Фактически Лобачевский доказал непротиворечивость  своей  системы  тем,
что ввел как на плоскости, так и в пространстве координаты и  таким  образом
построил  арифметическую  модель  плоскости  и  пространства   Лобачевского.
Однако сам Лобачевский видел свидетельство  непротиворечивости  открытой  им
геометрии  в  указанной  связи  формул   его   тригонометрии   с   формулами
сферической тригонометрии. Этот вывод  Лобачевского  неправомерен.  В  своем
мемуаре он доказал, что формулы сферической тригонометрии  вытекают  из  его
геометрии,  между  тем,  чтобы   утверждать,   что   из   непротиворечивости
тригонометрических    формул    вытекает    непротиворечивость     геометрии
Лобачевского, надо было бы доказать, что  все  предложения  последней  можно
вывести  из  ее  тригонометрических  формул  и  «абсолютной   геометрии»   -
предложений,  не  зависящих  от  пятого  постулата.   Лобачевский  попытался
провести такое доказательство, но в его рассуждения вкралась ошибка.

    Развитие евклидовой геометрии

    Новая система геометрии не получила признания при жизни ее творцов.
    Коллега Лобачевского по Казанскому университету П.И. Котельников (1809-
1879) в своей  актовой речи 1842 г. открыто  заявил:  «не  могу  умолчать  о
том, что  тысячелетние  тщетные  попытки  доказать  со  всей  математической
строгостью одну из  основных  теорем  геометрии,  равенство  суммы  углов  в
прямолинейном   треугольнике   двум   прямым,    побудили    достопочтенного
заслуженного профессора нашего университета предпринять изумительный труд  -
построить целую науку,  геометрию,  на  новом  предложении:  сумма  углов  в
прямолинейном треугольнике меньше двух прямых –  труд  .  который  рано  или
поздно найдет своих ценителей». За исключением этого выступления  неизвестны
другие официальные положительные отзывы о Лобачевском, как  о  творце  новой
геометрии. На «Аппендикс» Я. Бояи и вовсе не  имелось  откликов.  Гаусс  же,
как уже говорилось, избегал публикации своих открытий.
    Ситуация  изменилась  только  в  60-х  годах  XIX  века.  Несмотря   на
враждебное отношение отдельных влиятельных математиков старших поколений,  к
изучению и разработке неевклидовой геометрии приступает  все  большее  число
выдающихся  молодых  ученых.  Некоторую  роль   в  этом  сыграло  посмертное
издание писем Гаусса. В Европе идеи неевклидовой геометрии воспринимаются  с
энтузиазмом, появляются переводы трудов Лобачевского. Меняется  отношение  к
новой геометрии  и  в  России.  В  1868  г.  профессор  Московского  высшего
технического училища   А.  В.  летников  (1837-1888)  поместил  в  III  тому
«Математического сборника»  русский  перевод  «Геометрических  исследований»
Лобачевского с предисловием, в  котором  геометрические  труды  Лобачевского
характеризуются как «весьма замечательные, но мало известные»,  а  профессор
Э. П. Янишевский опубликовал  в  Казани  «Историческую  записку  о  жизни  и
деятельности Н. И. Лобачевского». И, наконец, в том  же  1868  году  выходит
статья Э. Бельтрами(1835 - 1900) об  интерпретациях  геометрии  Лобачевского
«опыт интерпретации неевклидовой геометрии», в  которой  он  отправлялся  от
работ Миндинга. В этой работе Бельтрами вычислил линейный  элемент  (квадрат
диффере
1234
скачать работу

История развития неевклидовой геометрии

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ