История развития неевклидовой геометрии
нциала дуги) плоскости Лобачевского в координатах u, v, равных
расстояниям точки от двух взаимно перпендикулярных прямых, деленным на r (в
настоящее время эти координаты называют бельтрамиевыми), и нашел, что в
этой системе координат линейный элемент имеет вид
[pic].
Вычисляя далее гауссову кривизну поверхности с таким линейным
элементом, Бельтрами обнаружил, что гауссова кривизна плоскости
Лобачевского во всех ее точках равна одному и тому же числу [pic], то есть
что плоскость Лобачевского можно рассматривать как поверхность постоянной
отрицательной кривизны.
Так как всякую поверхность с точки зрения ее внутренней геометрии можно
рассматривать как интерпретацию любой поверхности, наложимой на нее, а
необходимым и достаточным условием наложимости поверхностей является
равенство гауссовых кривизн в соответственных точках поверхностей,
Бельтрами сделал вывод, что плоскость Лобачевского может быть
интерпретирована любой поверхностью постоянной отрицательной кривизны.
Впоследствии (1900) Гильберт доказал, что всякая поверхность постоянной
отрицательной кривизны в евклидовом пространстве изометрична только части
или нескольким частям плоскости Лобачевского, но никогда не изометрична
плоскости Лобачевского целиком.
С другой стороны, рассматривая точки евклидовой плоскости с
координатами, численно равными «бельтрамиевым координатам» u, v плоскости
Лобачевского, Бельтрами получает вторую интерпретацию. Так как координаты
u, v связаны условием
[pic] ,
(3)
при этой интерпретации вся плоскость Лобачевского изображается
внутренностью круга, ограниченного окружностью
[pic].
(4)
Бальтрами показал, что прямые линии плоскости Лобачевского при этом
изображаются хордами этого круга, а расстояние токи Р с координатами (u,v)
до начала координат 0 равно
[pic].
(5)
Хотя Бельтрами не дал формулы для расстояния между двумя произвольными
точками и не выяснил, как в его интерпретации изображаются движения
плоскости Лобачевского, эта интерпретация Бельтрами явилась первым, правда,
неполным, доказательством непротиворечивости плоскости Лобачевского.
Впоследствии появились интерпретации Кэли и Клейна
Лобачевский указывал но связь геометрии с физикой, и хотя его измерения
углов с треугольника с громадными астрономическими размерами показали еще
справедливость евклидовой геометрии, на самом деле, как оказалось позже,
поправки, полученные в рамках теории, основанной именно на неевклидовой
геометрии, оказались заметными даже внутри планетной системы, объяснив
знаменитую аномалию движения Меркурия, обнаруженную в XIX столетии Леверье.
Неевклидова геометрия сыграла огромную роль во всей современной
математике, и фактически в теории геометризованной гравитации марселя
Гросмана-Гильберта-Эйнштейна(1913-1915). Довольно неожиданно, еще раньше
была установлена вязь кинематики Лоренца-Пуанкаре с геометрией
Лобачевского. В 1909 году Зоммерфельд показал, что закон сложения скоростей
данной кинематики связан с геометрией сферы мнимого радиуса (подобное
соотношение уже отмечали Лобачевский и Бояйи). В 1910 году Варичак указал
на аналогию данного закона сложения скоростей и сложения отрезков на
плоскости Лобачевского.
Предположение Лобачевского, что реальные геометрические отношения
зависят от физической структуры материи, нашло подтверждение не только в
космических масштабах. Современная теория квант все с большей
настоятельностью выдвигает необходимость применения геометрии, отличной от
евклидовой, к проблемам микромира.
Список литературы:
1. Математика XIX века, «Наука», М., 1981
2. Юшкевич А.П., История математики в России, «Наука», М., 1968
3. Ефимов Н.В., Высшая геометрия, «Наука», М.,1971.
Неевклидовы пространства и новые проблемы физики, «Белка», М., 1993
Клайн М., Математика. Утрата определенности, «Мир», М., 1984
| |  скачать работу |
История развития неевклидовой геометрии |
