Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
если a = 15, то S = 152 = 225;
если a = 0,4, то S = 0,42 = 0,16.
Зависимость переменной S от переменной a выражается формулой
S = a2
(по смыслу задачи a > 0).
Затем дается первое определение зависимой и независимой
переменных:
“Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют
независимой переменной, а переменную S, значения которой определяются
выбранными значениями a, ( зависимой переменной”.
П р и м е р 3. На рисунке изображен график температуры воздуха в
течении суток.
[pic]
С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 0 ( t
( 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия).
Например,
если t = 6, то p = (2;
если t = 12, то p = 2;
если t = 17, то p = 3;
Здесь t является независимой переменной, а p ( зависимой
переменной.
Пример 4. Стоимость проезда в пригородном поезде зависит от номера
зоны, к которой относится станция. Эта зависимость показана в таблице
(буквой n обозначен номер зоны, а буквой m ( соответствующая стоимость
проезда в рублях):
[pic]
По этой таблице для каждого значения n, где n = 1, 2, ..., 9,
можно найти соответствующее значение m. Так,
если n = 2, то m = 1.5;
если n = 6, то m = 4 ;
если n = 9, то m = 8.5;
В этом случае n является независимой переменной, а m ( зависимой
переменной.”
Обилие примеров, призванных проиллюстрировать понятие функции,
объясняется тем фактом, что проводя аналогии между различными примерами,
учащиеся интуитивно нащупывают суть этого понятия, строят догадку
относительно функциональных зависимостей в быту и в природе, и получают ее
подтверждение в последующих примерах. Второй не менее важной причиной
является то, что каждый из этих примеров содержит функцию заданную одним из
возможных способов. В первом примере она задана аналитически, во втором (
графически, в третьем это таблица. Это не случайность, разбирая примеры
вместе с учителем, дети сразу привыкают к различным способам задания
функций. И когда преподаватель начнет рассказывать параграф о способах
задания функций, ученикам будет гораздо легче осознать новый материал,
потому что для них он не будет абсолютно новым ( они уже сталкивались с
этим ранее.
Далее дается само определение функции, вводятся термины аргумент и
значение функции.
“В рассмотренных примерах каждому значению независимой переменной
соответствует единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость
одной переменной от другой называют функциональной зависимостью или
функцией.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой
переменной говорят, что она является функцией от этого аргумента. Так,
площадь квадрата является функцией от длины его стороны; путь, пройденный
автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени движения.
Значения зависимой переменной называют значениями функции.
Все значения которые принимает независимая переменная, образуют
область определения функции.”
Так на практике реализуется индуктивный подход к изучению функций
в школе. Альтернативой ему служит дедуктивный подход, который, хотя и
применяется реже, имеет целый ряд положительных аспектов, которые и стали
причиной его применения в школе. Для этого подхода характерно
первоначальное, полное и сжатое изложение учебного материала, пусть даже
малопонятного при первом прочтении, и дальнейшая углубленная проработка
всех примеров, терминов и определений. Такой подход к изучению функций и не
только их позволяет учащимся самостоятельно попытаться проследить
логические связи в излагаемом материале, резко увеличивает интенсивность
мыслительной деятельности, способствует более активному и глубокому
запоминанию. Вот как выглядит изложение той же темы “Понятие функции” в
соответствии с дедуктивным подходом:
1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными
зависимостями.
2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому
значению х соответствует единственное значение у. При этом используют
запись у = f (х).
3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а
переменную у ( зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.
4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением
функции.
5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область
определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная,
образуют множество значений функции.
6. Для функции f приняты обозначения: D ( f ) (область определения функции,
E ( f ) ( множество значений функции, f (х0) ( значение функции в точке х0.
7. Если D ( f ) ( R и E ( f ) ( R, то функцию называют числовой.
8. Элементы множества D ( f ) также называют значениями аргумента, а
соответствующие им элементы E ( f ) ( значениями функции.
9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана,
то считают, что область определения состоит из всех значений независимой
переменной, при которых эта формула имеет смысл.
10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны
значениям аргумента, а ординаты ( соответствующим значениям функции.
Затем, на следующих уроках, происходит детальный разбор этого
материала при активной работе учащихся. Тщательно рассматриваются все
определения, прорешиваются примеры ( идет усвоение нового материала.
Методика изучения прямой и обратной
пропорциональной зависимости
Введение понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости
является важным шагом на пути к введению понятия функциональной
зависимости и в дальнейшем к изучению линейной и обратной функций.
Используя на практике индуктивный подход и знания о пропорции, полученные
учениками, преподаватель на нескольких примерах может подвести учеников к
пониманию понятий прямой и обратной пропорциональной зависимости.
Например:
«Члены пропорции обладают свойством, которое называют основным
свойством пропорции. Во всякой пропорции произведение крайних членов равно
произведению средних членов, то есть если a/b=c/d , то a · d = b · c .
Это свойство применяется при нахождении неизвестного члена пропорции.
Пусть a/x = c/d , то x = a · d/c .
Посмотрите, как можно использовать знания математики в русском
языке!
Именительный падеж - кто? что?
Родительный падеж - кого? чего?
Дательный падеж - кому? X ?
[pic]
Недостающий вопрос дательного падежа - чему?
В окружающем нас мире большое множество пропорций или отношений. Они
делятся на две большие группы:
прямо пропорциональные и обратно пропорциональные.
Прямо пропорциональные :
1. Длина пути, пройденная равномерно движущимся телом, и время, затраченное
на этот путь.
2. Длина окружности и ее радиус.
3. Длина сторон прямоугольника и его периметр (площадь).
Обратно пропорциональные :
1. Радиус колеса и число совершаемых им оборотов на определенном отрезке
пути.
2. Скорость движения и время в пути.
Пропорциональность - такая зависимость между величинами, при которой
увеличение одной из них влечет за собой изменение во столько же раз другой
величины.
Прямая и обратная пропорциональные зависимости выражаются формулами:
y = a · x и y = a/x , (x отличен от нуля), где x и y - переменные
величины, а - коэффициент пропорциональности, который и показывает, во
сколько раз происходят изменения. а - действительное число отличное от
нуля. Эти зависимости можно изобразить графически. »
В качестве закрепления понятий прямой и обратной пропорциональной
зависимости преподаватель может дать несколько заданий:
1) Определить, является ли прямой пропорциональной, обратной
пропорциональной или не является пропорциональной зависимость между
величинами:
а) путем, пройденным автомашиной с постоянной скоростью, и временем
ее движения;
б) скоростью движения и временем, если длина пути 120 км;
в) количеством машин и их грузоподъемностью;
г) стоимостью товара, купленной по одной цене, и его количеством;
д) объемом прямоугольного параллелепипеда и высотой, если площадь
его основания 15 дм2 ;
е) числом рабочих, выполняющих с одинаковой производительностью труда
некоторую работу и временем выполнения работы;
ж) площадью квадрата и длиной его стороны;
з) ростом ребенка и его возрастом.
2) Задача на прямо пропорциональную зависимость:
Расстояние между городами А и В на карте равно 5,6 см, а на
местности 420 км.
Какое расстояние между городами С и Д на местности, если на этой
же карте расстояние между ними 3,6 см?
3) Задача на обратную пропорциональную зависимость:
28 рабочих могут выполнить строительные работы за 17 дней.
Сколько нужно рабочих, чтобы выполнит те же работы за 14 дней,
если производительность труда останется неизменной?
Методика изучения линейной, квадратной и
кубической функции в VII классе.
Большинство изучаемых в
| |  скачать работу |
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов |
