Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
школьной математике функций образует классы,
обладающие общностью аналитического способа задания функции из него,
сходными особенностями графиков, областей применения. Освоение
индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт,
специфических для неё, с общим представлением о функции непосредственно,
без выделения промежуточных звеньев. Однако длительность периода
независимого рассмотрения каждой функции незначительна; в курсе алгебры
вслед за введением понятия о функции сразу рассматривается первый класс –
линейные функции. Для функций, входящих в класс, изучение происходит по
более сложной схеме, поскольку в нём выделяются новые аспекты: изучение
данной функции как члена класса и изучение свойств всего класса на примере
«типичной» функции этого класса.
Типичный и одновременно важнейший для математики класс функций —
линейные функции, которые мы рассмотрим с точки зрения изучения характерных
для этого класса свойств и представлений, формируемых в курсе алгебры.
Первоначальное представление о линейной функции выделяется из
рассмотрения задачи, обычно связанной с равномерным прямолинейным
движением, а также при построении графика некоторой линейной функции.
Рассмотрим второй из этих источников. Основная мысль, которую мы попытаемся
обосновать, состоит в том, что рассмотрение графика отдельно взятой
линейной функции не может привести к формированию представлений об основных
свойствах графиков всех линейных функций.
Для этого рассмотрим два наиболее широко распространенных в начале
изучения темы приема построения графиков линейной функции.
Первый способ. Использование «загущения» точек на графике.
Предполагается следующая последовательность действий по этому приему:
а) нанесение нескольких точек;
б) наблюдение — все построенные точки расположены на одной прямой;
проведение этой прямой;
в) проверка: берем произвольное значение аргумента и вычисляем по
нему значение функции; наносим точку на координатную плоскость — она
принадлежит построенной прямой. Отсюда делается вывод о графике данной
линейной функции.
Этот способ безусловно может привести к пониманию того, что график и
любой линейной функции — прямая, т. е. к выделению некоторого общего
свойства класса линейных функций. Однако последовательное проведение приема
требует большого времени и не может быть проделано более нескольких раз.
Поэтому общее свойство будет при этом формироваться на основе изолированных
примеров.
Второй способ. По двум точкам. Этот способ уже предполагает знание
соответствующего свойства графиков линейных функций. Выявления новых
свойств здесь не происходит, поскольку внимание, как и при первом способе,
сосредоточивается на конкретной функции из класса. Заметим, что в обучении
происходит последовательная смена этих способов: когда общее свойство
графиков усвоено (при рассмотрении первого способа), начинают применять
второй — он экономнее и обоснован геометрически, поскольку через две точки
проходит одна и только одна прямая.
Для того чтобы изучить класс линейных функций в совокупности его общих
свойств, необходимо поставить новую для учащихся познавательную задачу:
исследовать класс функций у=kх+b в зависимости от параметров, установить
геометрический смысл параметров. Эта задача возникает сразу же вслед за
введением понятия функции. Наиболее естественный прием, который может быть
применен, состоит в рассмотрении одновременно нескольких функций, у которых
один из параметров изменяется, а другой остается постоянным. Простейшая
система, реализующая этот прием, состоит из четырех заданий с их
последующим анализом и установлением связей между ними.
Пример 5. Постройте графики функций:
у=0,5x; y=0,5x+0,5; y=1,5x; у=1,5x+0,5.
Основная часть работы начинается после построения графиков. Их нужно
сравнить, обращая внимание на особенности графиков в зависимости от
числовых значений коэффициентов. Опишем, например, методику выяснения
геометрического смысла коэффициентов при переменной.
[pic]
Следует обратить внимание на то, что графики (а) и (б) образуют с осью
абсцисс одинаковые углы, это же имеет место и для графиков (в) и (г). Кроме
того, графики (а) и (б) образуют с осью абсцисс меньшие углы, чем (в) и
(г). С другой стороны, коэффициенты при переменной в формуле для первой и
второй функций одинаковы и меньше, чем соответствующие коэффициенты у
третьей и четвертой функций. Можно после этого сформулировать вывод о
зависимости рассмотренного угла от коэффициента, ввести термин «угловой
коэффициент» и привести несколько закрепляющих упражнений.
Значительные трудности представляет случай отрицательных значений
углового коэффициента; для него требуется отдельная работа, построенная
аналогичным образом.
Приведём пример закрепляющего упражнения: на одном и том же чертеже
изображены графики функций у =3x+2; у=3/4x+2.
Построить на этом же чертеже графики функций у = 3х—1;
у = 3/4х — 1; объяснить построение.
Если параметры, определяющие класс функций, имеют ясный геометрический
смысл, то описанный прием изучения дает достаточно полное представление об
этом классе. Однако в школьном курсе алгебры рассматриваются и такие
классы, при изучении которых оказывается необходимым использовать и другие
приемы.
Например, к изучению класса квадратичных функций привлекается прием,
основанный на преобразовании выражения, задающего функцию, к виду а (х —
b)2 + с, использовании геометрических преобразований для построения графика
произвольной квадратичной функции из параболы стандартного положения —
графика функции у=ах2, а?0.
Остановимся на этом классе функций подробнее. Квадратичная функция
вводится и изучается в тесной связи с квадратными уравнениями и
неравенствами.
Первой из этого класса функций, в значительной степени еще вне
изучения собственного класса, рассматривается функция у=х2. Свойства этой
функции во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных
функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у
учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны
на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно
предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у=х2 на
промежутке -2?х?3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство
монотонности с класса линейных функций на функцию у=х2, учащиеся часто
делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4?x?9. Эта ошибка для своего
устранения требует рассмотрения графика функции у=х2.
Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции
у=х2 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других —
медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем
целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе на
промежутке,. -1?x?1, другой—в мелком масштабе на промежутке, например,
-3?х?3. Построение можно вести описанным выше методом загущения. Важно
отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в
дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций,
причем именно функция у = х2 будет ведущим примером функции этого класса.
Наиболее существенное применение, эта функция имеет при рассмотрении
понятия иррационального числа. Первый пример иррационального числа (-?2)
может быть введен различными способами, но независимо от этого необходимо
объяснить его связь с графическим методом решения уравнения х2=2.
Изучение класса квадратичных функций начинается с изучения функций
вида у=ах2; при этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее
вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах2+с. И здесь также
коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к
которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси
ординат, либо независимым рассуждением.
Пример 6. Задан график функции у=х2. Построить на этом чертеже график
функции у=х2+1.
Заметим, что при заданном значении аргумента хо (рассматриваются,
конечно, конкретные значения) значения функции у=х2+1 на одно и то же
число, равное 1, больше значений функции у=х2. Поэтому для построения
соответствующей точки на графике второй функции достаточно поднять на 1
точку графика первой функции с абсциссой Хо. Следовательно, чтобы построить
весь график второй функции, нужно поднять на 1 график первой.
Это рассуждение хорошо усваивается учащимися, целесообразно применить
его и при изучении класса линейных функций. В дальнейшем при обобщении
свойств графиков его можно сформулировать так: «Чтобы построить график
функции у=f(x)+с по известному графику функции у=f(х), можно произвести
параллельный перенос второго графика на с единиц вдоль оси ординат».
После этой подготовки, казалось бы, можно приступить к изучению
графиков произвольных квадратичных функций. Но здесь возникает трудность:
коэффициент при первой степени неизвестного не имеет для квадратичной
функции у=ах2+bх+с достаточно простого геометрического смысла. Именно
поэтому приходится идти обходным путем, следуя тем же преобразованиям,
которые производились при выводе формулы решения квадратного уравнения, и
вводить в рассмотрен
| |  скачать работу |
Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов |
