Изучение функций в школьном курсе математики VII-VIII классов
Другие рефераты
Федеральное агентство по образованию
Тольяттинский государственный университет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
по теории и методике обучения математике на тему
Изучение функций в курсе математики
VII-VIII классов
Выполнила:
Студентка группы Мз-401
Барейчева Л.В.
Научный руководитель:
Антонова И.В.
К.П.Н., ст.преподаватель
Tольятти 2005 г.
Содержание
|N п/п| |Стр.|
|1 |Введение |3 |
|2 |Определение функции |4 |
|3 |Различные подходы к введению понятия функции в школе |8 |
|4 |Методика введения понятий: функции, аргумента, области |11 |
| |определения. | |
|5 |Методика изучения прямой и обратной пропорциональной |17 |
| |зависимости | |
|6 |Методика изучения линейной, квадратной и кубической |19 |
| |функции в VII классе. | |
|7 |Методика введения понятия обратной функции, функции |26 |
| |вида y=?x в VIII классе | |
|8 |Заключение |28 |
|9 |Список литературы |29 |
Введение
Данная курсовая работа посвящена изучению функций в курсе математики
VII-VIII классов. В ней даётся исторический экскурс определения понятия
функции, рассматриваются различные подходы к введению понятия функции в
школе. Отдельно рассматриваются общие вопросы методики введения понятий:
независимой и зависимой переменной, функциональной зависимости, аргумента,
функции, области определения функции. Приводятся примеры.
Основная часть курсовой работы направлена на рассмотрение вопросов
методики изучения в VII-VIII классах школьного курса математики функций,
образующих классы, которые обладают общностью аналитического способа
задания функций, сходными особенностями графиков, областей применения.
Освоение индивидуально заданной функции происходит в сопоставлении черт,
специфических для неё, с общим представлением о функции. Особое внимание
уделено методике изучения линейной, квадратичной и кубической функций и их
графиков, а также рассматриваются понятия обратной функции и функции вида
y=?Їx.
Определение функции
Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий является понятие
функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального
мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности, она
содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между
величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для
нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Те вавилонские ученые, которые 4(5 тысяч лет назад нашли для
площади S круга радиусом r формулу S=3r2 (грубо приближенную), тем самым
установили, пусть и не сознательно, что площадь круга является функцией от
его радиуса. Таблицы квадратов и кубов чисел, также применявшиеся
вавилонянами, представляют собой задания функции.
Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и
систематическое изучение функциональной зависимости берут свое начало в
XVII в. в связи с проникновением в математику идеи переменных. В
“Геометрии” Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции
носило по существу интуитивный характер и было связано либо с
геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек
кривых ( функции от абсцисс (х); путь и скорость ( функции от времени (t) и
тому подобное.
Четкого представления понятия функции в XVII в. еще не было, путь
к первому такому определению проложил Декарт, который систематически
рассматривал в своей “Геометрии” лишь те кривые, которые можно точно
представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических.
Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием
аналитического выражения ( формулы.
Слово “функция” (от латинского functio ( совершение, выполнение)
Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или
иную функцию). Как термин в нашем смысле выражение “функция от х” стало
употребляться Лейбницем и И. Бернулли; начиная с 1698 г. Лейбниц ввел также
термины “переменная” и “константа” (постоянная). Для обозначения
произвольной функции от х Иоганн Бернулли применял знак ( х, называя (
характеристикой функции, а также буквы х или (; Лейбниц употреблял х1, х2
вместо современных f1(x), f2(x). Эйлер обозначал через f : х, f : (x + y)
то, что мы ныне обозначаем через f (x), f (x + y). Наряду с ( Эйлер
предлагает пользоваться и буквами (, ( и прочими. Даламбер делает шаг
вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая эйлерово двоеточие;
он пишет, например, ( t, ( (t + s).
Явное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из
учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком
Иоганном Бернулли: “Функцией переменной величины называют количество,
образованное каким угодно способом из этой переменной величины и
постоянных”.
Леонард Эйлер во “Введении в анализ бесконечных” (1748) примыкает
к определению своего учителя И. Бернулли, несколько уточняя его.
Определение Л. Эйлера гласит: “Функция переменного количества есть
аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого
количества и чисел или постоянных количеств”. Так понимали функцию на
протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные
математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого
определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему
развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих
произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как
кривую, начертанную “свободным влечением руки”. В связи с таким взглядом Л.
Эйлера на функцию между ним и его современниками, в первую очередь его
постоянным соперником, крупным французским математиком Даламбером, возникла
большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения
произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула)
следует считать более широким. Так возник знаменитый спор, связанный с
исследованием колебаний струны.
В “Дифференциальном исчислении”, вышедшем в свет в 1755 г, Л. Эйлер
дает общее определение функции: “Когда некоторые количества зависят от
других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются
изменению, то первые называются функциями вторых”. “Это наименование, (
продолжает далее Эйлер, ( имеет чрезвычайно широкий характер; оно
охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью
других”. На основе этого определения Эйлера французский математик С. Ф.
Лакруа в своем “Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению”,
опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: “Всякое количество,
значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется
функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие
операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому”.
Как видно из этих определений, само понятие функции фактически
отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии
естествознания и математики в XIX в. вызвали и дальнейшее обобщение понятия
функции.
Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и
других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией,
внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830), занимавшийся
в основном математической физикой. В представленных им в Парижскую Академию
наук в 1807 и 1811 гг., работах по теории распространения тепла в твердом
теле Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных
участках различными аналитическими выражениями.
Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того,
из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть
представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также
прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем “Курсе
алгебраического анализа”, опубликованном в 1821 г., французский математик
О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития
физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими
функциями, для определения
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
