Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Краткая методичка по логике

lip; Пример индуктивной последовательности термов: f[pic] (1 f[pic] ((1, f[pic]) f[pic] ((1, (1, f[pic]((1, f[pic])) (2 f[pic]((1, f[pic], f[pic]((1, f[pic]), (2) f[pic]((2) f[pic](f[pic]((2)) Высказываниями, соотношениями, формулами называются знакосочетания с такими правилами порождения: ( g здесь g нульместный ( g(а1,…,аn) здесь g n-местный, n(0 ( u, (x(u) ( u, (x(u) ( u, ((u) ( u, v, (u)((v) ( u, v, (u)((v) ( u, v, (u)((v) ( u, v, (u)((v) Пример индуктивной последовательности формул (на основе термов из предыдущего примера) g[pic](f[pic], (1) g[pic] ((5(g[pic]) ((1(g[pic](f[pic], (1)) ((((5(g[pic])) g[pic] (g[pic])((((5(g[pic])) g[pic](f[pic]((1, f[pic]), (2, (2) Обозначениями для высказываний: p, q, r, s, t, p0, q0, r0, s0, t0,… С целью удобства обозрения формул некоторые скобочные диады можно опускать, принимая соглашение о правосторонней группировке скобок для нескольких одинаковых логических знаков и соглашение об убывании силы связи в алфавитном порядке логических знаков. Пример: p(q(r означает (p)(((q)((r)), а запись ((xp(q(r понимается как ((((x(p)))(((q)((r)). Следует помнить, что любое высказывание с пропущенными парами скобок не является высказыванием формального языка, оно является лишь обозначением соответствующего высказывания. Нульместные функциональные знаки называются константами. Знакосочетание (x называется квантором всеобщности по х, а (х - квантором существования по х. Начинающееся с предикатного знака высказывание называется предикатом. Высказывание называется элементарным, если оно начинается с квантора или предикатного знака. Высказывание q называется подвысказыванием или компонентой высказывания р, если q есть часть р. Элементарная компонента q высказывания р называется его пропозициональной компонентой, если q имеет хотя бы одно такое вхождение в р, которое не является вхождением в какую-нибудь другую элементарную компоненту высказывания р. Например, высказывание ((5(g[pic](g[pic])(g[pic] имеет пять компонент: ((5(g[pic](g[pic]), g[pic], g[pic], g[pic](g[pic], ((5(g[pic](g[pic])(g[pic], из которых только первые три являются элементарными, первые две - пропозициональными, только g[pic] и g[pic] - предикатными. Интерпретация формального языка. Переменная выражает, нотирует, обозначает произвольный объект из некоторого не пустого множества, которое называется денотарием или универсумом данной интерпретации и элементы которого тем самым являются денотатами или значениями переменной. n-местный функциональный знак обозначает n-местную операцию на универсуме. n-местный предикатный знак обозначает изначальную взаимосвязь между любыми n объектами универсума. Термы обозначают объекты универсума, а высказывания обозначают истину или ложь, т. е. денотатами термов являются объекты универсума, а денотатами высказываний являются истина и ложь. Задать интерпретацию формального языка значит задать ее универсум и связанные с ним значения всех нужных нам функциональных и предикатных знаков; тогда значения всех нужных термов и формул при любых значениях фигурирующих в них переменных определяются индукцией по их построению с учетом такой интерпретации логических знаков: (xp - обобщение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным для всех значений переменной х; синонимы: р для каждого х, р для любого х, р для всех x, р для произвольного х. (xp - подтверждение высказывания р по х является истинным тттк р является истинным хотя бы для одного значения переменной х; синонимы: существует х т.ч. р, р для некоторого х. (p - отрицание высказывания р является истинным тттк р является ложным; синонимы: не р, неверно что р. p(q - конъюнкция высказываний р, q является истинной тттк оба ее конъюнкта р, q являются истинными; синонимы: р и q, и р и q. p(q - дизъюнкция высказываний p, q является ложной тттк оба ее дизъюнкта р, q являются ложными; синонимы: р или q, или р или q. p(q - импликация высказываний p, q является ложной тттк посылка р является истинной, а заключение q является ложным; синонимы: р только если q, если р то q, q если р, р тогда q, q когда р, для того чтобы р необходимо чтобы q, для того чтобы q достаточно чтобы р, р следовательно q, из того что р следует что q. p(q - эквиваленция высказываний р, q является истинной тттк ее части р, q обе являются истинными или обе являются ложными; синонимы: р если и только если q, р тогда и только тогда когда q, для того чтобы р необходимо и достаточно чтобы q, р эквивалентно q. Замечание. Иногда высказывания записывают на смеси формального, обычного и математического языка. Все такие записи будем рассматривать как обозначения соответствующих высказываний формального языка. Замечание. Введение обозначений для высказываний порождает двусмысленность в использовании знака равенства, поскольку сами высказывания являются некоторыми обозначениями, а именно обозначениями истины или лжи. При наличии иерархии обозначений такую двусмысленность обычно снимают соглашением о том, что равенство понимается как равенство между исходными объектами. Т. о. равенство p=q означает, что р и q имеют одинаковые истинностные значения т. е. являются равносильными. Пример. Каждый кулик свое болото хвалит. Универсум - множество куликов и болот g[pic](x) - х есть кулик g[pic](x) - х есть болото g[pic](x, у) - х хвалит у g[pic](x, у) - у свое для х ((1((((g[pic]((1))((g[pic]((2)))((g[pic]((1, (2)))((g[pic]((1, (2))) Пример. Сумма квадратов двух положительных чисел меньше квадрата их суммы. Универсум - множество положительных чисел. f[pic](x) - квадрат числа x f[pic](x, y) - сумма чисел x, y g[pic](x, y) – x меньше y g[pic](f[pic](f[pic]((1), f[pic]((2)), f[pic](f[pic]((1, (2))) Можно записать по-другому: универсум - множество действительных чисел f[pic] - число 0 ((g[pic](f[pic], (1))((g[pic](f[pic], (2)))((g[pic](f[pic](f[pic]((1), f[pic]((2)), f[pic](f[pic]((1, (2))) Пример. Только я один знаю об этом. Универсум – множество людей f[pic] - я g[pic](x) - x знает об этом g[pic](x, y) - x идентичен y (g[pic](f[pic]))((((1((((g[pic]((1, f[pic])))((((g[pic]((1)))) Никто не знает об этом: ((1(((g[pic]((1))) Все знают об этом: ((1(g[pic]((1)) Кто-нибудь знает об этом: ((1(g[pic]((1)) Пример. Здесь холодно, но не сыро: (g[pic])((((g[pic])) Пример. Ни p ни q: (p и (q Пример. Если p то q иначе r: (p(q)(((p(r) Пример. p либо q: p((q((p(q Пример. p поэтому q: p((p(q) Пример. Чай без сахара не сладкий и не вкусный. g[pic] - чай содержит сахар g[pic] - чай сладкий g[pic] - чай вкусный (((g[pic]))((((( g[pic]))(((( g[pic]))) Возможен другой перевод: ((((g[pic]))(((( g[pic])))((((( g[pic]))((((( g[pic]))) Пример. Его отец слесарь, а все братья токари. Универсум – множество мужчин f[pic] - он f[pic](x) - отец для x g[pic](x) - x есть слесарь g[pic](x) - x есть токарь g[pic](x, y) - x идентичен y (g[pic](f[pic](f[pic])))((((1(((((g[pic]((1, f[pic])))((g[pic](f[pic]((1), ( f[pic](f[pic]))))((g[pic]((1)))) Тема 3. Пропозициональная логика или логика элементарных высказываний изучает свойства логических операций (, (, (, (, (, которые по смыслу их введения являются операциями над истинностными значениями: |p |q |(p |p(q |p(q |p(q |p(q | |Л |Л |И |Л |Л |И |И | |Л |И |И |Л |И |И |Л | |И |Л |Л |Л |И |Л |Л | |И |И |Л |И |И |И |И | Если высказывания р, q различны и элементарны, то эта таблица называется истинностной таблицей высказываний (p, q,) (p, p(q, p(q, p(q, p(q. В общем случае при составлении истинностной таблицы какого-либо перечня высказываний надо поместить на ее вход все различные пропозициональные компоненты этих высказываний, сделать полный перебор истинностных значений во входных столбцах и записать соответствующие истинностные значения в результирующих столбцах. Пример. В комнате без окон темно и неуютно. Универсум - множество комнат g[pic]((1) - (1 имеет окно p - комната имеет окно g[pic]((1) - в (1 темно q - в комнате темно g[pic]((1) – в (1 уютно r - в комнате уютно (((g[pic]((1)))(((g[pic]((1))((((g[pic]((1)))) (p(q((r p q r |p |q |r |(p |(r |q((r |(p(q((r | |Л |Л |Л |И |И |Л |Л | |Л |Л |И |И |Л |Л |Л | |Л |И |Л |И |И |И |И | |Л |И |И |И |Л |Л |Л | |И |Л |Л |Л |И |Л |И | |И |Л |И |Л |Л |Л |И | |И |И |Л |Л |И |И |И | |И |И |И |Л |Л |Л |И | Тавтология или тавтологически истинное высказывание - это высказывание со сплошными И в его столбце его истинностной таблицы. Высказывание q называется тавтологическим следствием (из) высказываний p1,…,pn, если в истинностной таблице высказываний p1,…,pn,,q столбец q содержит И в любой строке, которая содержит И во всех столбцах p1,…,pn. Например, построенная выше таблица показывает, что: (p(q((r - есть тавтологическое следствие из (p, q((r; (r, q являются тавтологическими следствиями из q((r; r есть тавтологическое следствие из p, (p. Теорема об отрицании отрицания: ((p = p Теорема об отрицании конъюнкции: ((p(q) = (p((q Теорема об отрицании дизъюнкции: ((p(q) = (p((q Теорема об исключении импликации: p(q = (p(q Теорема об исключении эквиваленции: p(q = p(q((p((q Теорема об устранении альтернативы: p((p(q = p(q, (p(p(q = (p(q Теорема о коммутативности конъюнкции: p(q = q(p Теорема о коммутативности дизъюнкции: p(q = q(p Теорема об ассоциативности конъюнкции: p((q(r) = (p(q)(r Теорема об ассоциативности дизъюнкции: p((q(r) = (p(q)(r Теорема о дистрибутивности конъюнкции: p((q(r) = (p(q)((p(r) Теорема о дистрибутивности дизъюнкции: p((q(r) = (p(q)((p(r) Теорема о равносильности: р = q тогда и только тогда когда p(q = И Теорема о тавтологическом следствии: q является тавтологическим следствием из р1,…,pn тттк р1(…(р ( q является тавтологией. Эти три теоремы легко доказываются с помощью истинностных таблиц. Арифметический способ записи высказываний: исключаются знаки (, ( и вместо Л, И, (p, p(q, p(q употребляются соответственно 0, 1, (p, p q, p + q. Например, арифметической записью высказывания (r(p(q(r) будет [pic]. При арифметической записи высказываний с ними можно обращаться так, как будто они обозначают числа 0, 1, а. Логический плюс отличается от арифметического только
12345
скачать работу

Краткая методичка по логике

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ