 |
|
Краткая методичка по логике
тем, что 1 + 1 = 1. При этом полезно помнить следующие равенства: p ( q = (p + q [pic] p ( q = p q + (p (q p p = p [pic] p + p = p [pic] p(p = 0 p + (p q = p + q p +(p = 1 p + p q = (p + q 1 + p = 1 Равенства в левой колонке представляют собой другую запись уже доказанных выше теорем, а равенства в правой колонке устанавливаются непосредственной проверкой с учетом равенств 0 = 1, 1 = 0. Пример. Доказательство тавтологичности высказываний: p(q(p =(p + (q(p) =(p +(q + p =(p + p +(q = 1 +(q = 1 p(q(p(q =(p +(q + p q =[pic] + p q = 1 ((p((q)(((q(p)(q = [pic] +q =(q p +(q(p + q = (q (p +(p) + q =(q + q = 1 Пример. Выразительная достаточность пар ((, ((, ((. p(q = (((p((q) = ((p((q) p(q = (((p((q) = (p(q p(q = ((p((q) = (p(q p(q = ((((p(q)((((p((q)) p(q = (((p(q)(((p(q) p(q = (((p(q)( ((q(p)) Доказательство последнего равенства: p(q = p q +(p(q (((p(q)(((q(p)) = [pic] = ((p + q)(q +(p) = (p(q +(p p +(q q + q p =(p(q + 0 + 0 + q p = p q +(p(q Пример. Упрощение высказываний. ((p((q((r)((q((p)((p(q)(q = ((p +(q +(r)(q +(p) + q((p + q) = ((p + q)((p +(q +(r + q) = ((p + q)(1 +(p + (r) = (p + q = p(q (p(q)(p = [pic] + p = p(q + p = p((q + 1) = p 1 = p Пример. Доказательство равносильности высказываний. ((p((q((r( = (p ((q(r = (p +(q(r = p +(q(r {((p((q)(((p((r)} = ((p((q)((p((r) = (p +(q)(p +(r) = p + p(r +(q p +(q(r = p(1 +(r +(q) +(q(r = p +(q(r Т. о. (…( = {…} т. е. являются равносильными два полученных ранее перевода высказывания «чай …». Правилом отделения называется правило ( p, (p)((q), q Теорема о выводе в пропозициональной логике: высказывание p0 является тавтологическим следствием из p1,…,pn тттк его можно получить из p1,…, pn с помощью правила отделения и нижеследующих пятнадцати беспосылочных правил: ( p(q(p ( (p(p(q)((p(q) ( (p(q)(((q(r)((p(r)) ( p(q(p ( p(q(q ( (p(q)(((p(r)((p(q(r)) ( p(p(q ( q(p(q ( (p(r)(((q(r)((p(q(r)) ( (p(q)((p(q) ( (p(q)((q(p) ( (p(q)(((q(p)((p(q)) ( (p(q)(((q((p) ( p(((p ( ((p(p Другими словами, какое–либо высказывание p0 является тавтологическим следствием из p1,…,pn тттк p0 можно сделать членом последовательности высказываний, которая является индуктивной относительно этих шестнадцати правил и правил ( p1,…, (pn. Теорема не исключает случай n = 0. Теорема о самодостаточной выразительности пропозициональной логики: для любой истинностной таблицы с n входными столбцами p1,…,pn и любого распределения истинностных значений в ее результирующем столбце можно составить соответствующее этому столбцу высказывание: справа от всех строк с истиной в результирующем столбце записываем конъюнкцию p1… pn, затем над некоторыми pk ставим черту отрицания так, чтобы все эти конъюнкции для всех строк были истинными, затем составляем дизъюнкцию из получившихся конъюнкций. Например: p q r ? 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 p q(r 0 1 1 0 1 0 0 1 p(q(r 1 0 1 0 1 1 0 1 p q(r 1 1 1 0 (p q(r + p(q(r + p q(r = (p q(r + p(r((q + q) =(p q(r + p(r =(r((p q + p) =(r(p + q) = (r((p(q) Замечание. Если в результирующем столбце содержится только Л, то в качестве искомого высказывания можно взять p1((p1. Пример применения теоремы о самодостаточной выразительности. Турист приехал в страну, где каждый житель всегда лжет либо всегда говорит правду. Какой вопрос должен задать турист местному жителю, чтобы узнать, какая из двух дорог ведет в столицу. p – житель говорит правду q – эта дорога ведет в столицу r – высказывание для вопроса |p |q |r |Нужный ответ | | |0 |0 |1 |Нет |(p(q | |0 |1 |0 |Да | | |1 |0 |0 |Нет | | |1 |1 |1 |Да |p q | r =(p(q + p q = p(q т. e. турист должен спросить: верно ли, что Вы скажите правду если и только если эта дорога ведет в столицу. Пример проверки рассуждения «(Профсоюзы поддержат президента на предстоящих выборах ( p) только если (он подпишет законопроект о повышении заработной платы (q). (Фермеры окажут президенту поддержку (r) только если (он наложит вето на законопроект (s). Очевидно, что он не подпишет законопроекта или не наложит на него вето. Следовательно президент потеряет голоса профсоюзников или голоса фермеров». (p(q)((r(s)(((p((s) ( (p((r = [pic] +(p +(r =(p q + r s + q s +(p +(r = [pic] + q s = [pic] + q s =(p +(q +(r +(s +q s =(p +(r + [pic] + q s = (p +(r +1 = 1 – тавтология, т.е. рассуждение правильное. Пример проверки рассуждения «(В бюджете возникнет дефицит ( p), если (не повысят пошлины ( (q). Если в бюджете будет дефицит, то (государственные расходы на общественные нужды сократятся ( r). Значит, если повысят пошлины, то государственные расходы на общественные нужды не сократятся». ((q(p)((p(r)((q((r) = [pic] +(q + (r =(q(p + p(r +(q +(r = (q((p +1) +(r(p + 1) =(q +(r = [pic] - не тавтология, т.е. нельзя сказать, что рассуждение правильно. Пример проверки рассуждения «Если (подозреваемый совершил эту кражу ( p), то (она была тщательно подготовлена ( q) или (он имел соучастника ( r). Если бы кража была подготовлена тщательно, то, если бы был соучастник, украдено было бы гораздо больше. Значит, подозреваемый невиновен». (p(q(r)((q((r((p))((p = [pic] +(p = p(q(r + p q r +(p = q r +(q(r +(p – не тавтология. Пример проверки рассуждения «(Если наступит мир ( p), то (возникнет депрессия ( q), разве что (страна проведет программу перевооружения ( r) или осуществит грандиозную социальную программу ( s). Но договориться о целях такой грандиозной программы невозможно. Следовательно если наступит мир и не будет депрессии, то будет осуществляться программа перевооружения». (p(q((q((r(s))((s(p((q(r = [pic] = [pic] т.е. рассуждение правильное. Пример сокращения текста «Члены финансового комитета должны избираться среди членов дирекции. Нельзя быть одновременно членом дирекции и членом библиотечного совета, не будучи членом финансового комитета. Член библиотечного совета не может быть членом финансового комитета». p – он является членом финансового комитета q – он является членом дирекции r – он является членом библиотечного фонда (p(q)(((p(((q(r))((r((p) = ((p + q)(p +(q +(r)((r +(p) = ((p +q)[pic] = ((p + q)[pic]=((p + q)((p(q +(r) = ((p + q)((p + q)(q +(r) = ((p + q)((q +(r) = (p(q)(((q(r) Таким образом, можно отбросить подчеркнутую часть текста. Пример анализа рассуждения «(это преступление совершено в Кустанае ( q). (Петров во время совершения преступления находился в Ростове ( r). Следовательно (Петров не совершал этого преступления ( (p)». q(r((p – не тавтология «Преступление совершено в Кустанае. Поэтому если Петров совершил это преступление, то (он во время совершения преступления находился в Кустанае (s). Но Петрова в это время в Кустанае не было. Значит, Петров не совершал этого преступления». q((q(p(s)((p = … = 1 – тавтология т.е. рассуждение правильное. Рассуждение останется правильным, если из него выбросить первое предложение и ссылку на него во втором предложении: (p(s)((s((p = [pic] +(p = [pic] +(p = p + s +(p = 1 + s = 1 Задача. Выяснить, кто из четверых виновен на основе информации «Петров виновен, только если виновен Кулагин. Неверно, что виновность Родионова влечет виновность Сидорова и что Кулагин виновен, а Сидоров нет». p, q, r, s – виновен Петров, Кулагин, Родионов, Сидоров. (p(q)(((r(s)(((q((s) = ((p + q)[pic] = ((p + q) r(s((q + s) = ((p + q)(r s(q = (p(q r(s т.е. Родионов виновен, остальные не виновны. Задача Кислера. Обвиняемые в подделке налоговых документов Браун, Джонс и Смит дают под присягой такие показания. Браун: Джонс виновен, а Смит не виновен. Джонс: Если Браун виновен, то виновен и Смит. Смит: Я не виновен, но хотя бы один из них двоих виновен. Вопрос 1: Совместимы ли данные показания? Вопрос 2: Какое показание следует из другого? Вопрос 3: Если все виновны, то кто лжесвидетельствует? Вопрос 4: Если все сказали правду, то кто виновен? Вопрос 5: Если невинный говорит правду, а виновный лжет, то кто виновен, а кто невиновен? Б – виновен Браун. Д – виновен Джонс. С – виновен Смит. |Б |Д |С |(Б |(Д |(С |Б(Д |Д((С |Б(С |(С((Б(Д) | |Л |Л |Л |И |И |И |Л |Л |И |Л | |Л |Л |И |И |И |Л |Л |Л |И |Л | |Л |И |Л |И |Л |И |И |И |И |И | |Л |И |И |И |Л |Л |И |Л |И |Л | |И |Л |Л |Л |И |И |И |Л |Л |И | |И |Л |И |Л |И |Л |И |Л |И |Л | |И |И |Л |Л |Л |И |И |И |Л |И | |И |И |И |Л |Л |Л |И |Л |И |Л | |Показания |Брауна|Джонса |Смита | 1. Да, только за счет третьей строки. 2. Из первого третье. 3. Браун и Смит. 4. Джонс виновен, остальные невиновны. 5. Джонс невиновен, остальные виновны. Тема 4. Кванторная логика. или логика предикатов является расширением пропозициональной логики путем изучения операций (, (. Из определения этих операций следует, что значения высказываний (хp, (хp, понимаются соответственно как конъюнкция p1(p2(p3(… и дизъюнкция p1(p2(p3(… значений высказывания p для всевозможных значений переменной х. Высказывание p называется кванторологически истинным при любой интерпретации. Из определений следует, что тавттологически истинное высказывание является кванторологически истинным. Обратное вообще говоря не верно: высказывание (хp((хp является кванторологически истинным, но не является тавтологически истинным. Истинностная таблица. |(хp |(хp |(хp((хp | |Л |Л |И | |Л |И |И | |И |Л |Л | |И |И |И | Истинностная схема. |p1, p2, p3… |(хp |(хp |(хp((хp | | |p1(p2(p3(… |p1(p2(p3(… | | |ЛЛЛ… |Л |Л |И | |ЛЛЛ… |Л |И |И | |……… |… |… |… | |ИИИ… |И |И |И | Высказывание q называется кванторологическим следствием (из) высказываний р1,…,pn, если p является истинным в любой интерпретации, в которой истинными являются p1,…,pn. Вхождением переменной ( в высказывание p называется связанным, если оно является вхождением в некоторое подвысказывание вида (х(q) или вида (х(q); в противном случае это вхождение называется свободным. Например, первое и второе вхождения (1 в высказывание ((g[pic]((1))((g[pic]((1, (2)))(
| |  скачать работу |
Краткая методичка по логике |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
