Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

ть  f((),
то получим
                       x = f(() cos (, y = f(() sin (
Последние  уравнения  можно  рассматривать  как  параметрические   уравнения
кривой, причём параметром является (.
                          Тогда[pic],        [pic]

                           [pic] ,          [pic]

Подставляя последние выражения в формулу, получаем  формулу  для  вычисления
кривизны кривой, заданной в полярных координатах:

                                    [pic]



 Радиус и круг кривизны


Определение 7.   Величина R, обратная кривизне К линии в данной точке М,
называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке:  R = 1/K,
 или
                                    [pic]
Построим в точке М нормаль к кривой (рис. 8 ), направленную в сторону
вогнутости кривой, и отложим на этой нормали отрезок МС, равный радиусу R
кривизны кривой в точке М.
Точка С называется центром кривизны данной кривой с центром в точке С
(проходящий через точку М) называется кругом кривизны данной кривой в точке
М.
Из определения круга кривизны следует, что в данной точке кривизна кривой и
кривизна круга кривизны равны между собой. Выведем формулы, определяющие
координаты центра кривизны.
 Пусть кривая задана уравнением y=f(x). Зафиксируем на кривой точку M(x, y)
и определим координаты  (  и (   центра кривизны, соответствующего этой
точке (рис. 9).Для этого напишем уравнение нормали к кривой в точке М:
                                    [pic]
Так как точка C((, () лежит на нормали, то её координаты должны
удовлетворять уравнению    [pic].
Далее, точка  C((, ()  находится от точки М на расстоянии, равном радиусу
кривизны R:
                                    [pic]
Решив совместно уравнения * определим (, (:
                    [pic]                          [pic]
            [pic]                                          [pic]

и так как   [pic],   то
          [pic]                                               [pic]

Чтобы решить вопрос о том, верхние или нижние знаки сле6дует брать в
последних формулах, нужно рассмотреть случай y!!>0  и y!!<0. Если y!!>0 ,
то в этой точке кривая вогнута и, следовательно, (>y (рис. 9) и поэтому
следует брать нижние знаки. Учитывая, что в этом случае (y!!(= y!!, формулы
координат центра запишем в следующем виде:
       [pic]                                             [pic]    (1)
Аналогично можно показать, что формулы будут справедливы и в случае y!!<0.


Параметрическое задание кривой


Если кривая задана параметрически:  x = ((t),  y = ((t),  то координаты
центра кривизны можно получить из формул *, подставляя  в них вместо y! и
y!! их выражения через параметр:
                [pic]                                 [pic].
Тогда
       [pic]                                              [pic]    (2)



Эволюта и эвольвента


Если в точке M1(x, y) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке
соответствует вполне определённый центр кривизны C1((, () . Совокупность
всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию,
называемую эволютой по отношению к первой.
По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентой или
инволютой (или развёрткой). Дадим определение.

Определение 8.  Геометрическое место центров кривизны линии L называется её
эволютой L1 , а сама линия L относительно своей эволюты называется
эвольвентой.

Если данная кривая определяется уравнением   y=f(x) , то уравнения (1)
можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром x.
Исключая из этих уравнений параметр  x, получим непосредственную
зависимость между текущими координатами эволюты (   и  (. Если же кривая
задана параметрически x = ((t),  y = ((t), то уравнеия (2) дают
параметрические уравнеия эволюты.



Свойства эволюты


Теорема 1.  Нормаль к данной кривой является касательной  к её эволюте.

Доказательство.  Угловой коэффициент  касательной  к  эволюте,  определяемой
параметрическими уравнениями (1) , равен    [pic].     В силу уравнений  (1)

                                 [pic], (3)
                                 [pic]  (4)

Получаем соотношение
                                   [pic].

Но y! есть  угловой  коэффициент  касательной  к  кривой  в  соответствующей
точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к  кривой
  и   касательная   к   её   эволюте   в   соответствующей   точке   взаимно
перпендикулярны, то есть нормаль к кривой является касательной к эволюте.

Теорема 2. Если на некотором участке M1M2 кривой радиус кривизны  изменяется
монотонно, то приращение длины дуги эволюты на данном участке  кривой  равно
по абсолютной величине соответствующему приращению радиуса  кривизны  данной
кривой.
Доказательство.
Так как   [pic],  где ds  - дифференциал длины дуги эволюты;  отсюда
                                    [pic]
Подставляя сюда выражения  (3) и (4) получим
                                 [pic].  (4)
Так как          [pic],      то      [pic].
Дифференцируя по x обе части этого равенства, получим после  соответствующих
преобразований
                                    [pic]
Деля обе части равенства на   [pic],   получим
                                   [pic].

Возведём в квадрат полученное равенство:

            [pic]   (5), и сравнивая равенства (4), (5)  находим

                        [pic] ,    откуда        [pic]
  По условию [pic] не меняет знак (R только возрастает или только убывает),
   следовательно, и [pic] не меняет знак. Пусть для определённости [pic],
                   а[pic]. (рис. 10)  Следовательно, [pic]
Пусть точка M1 имеет абсциссу x1, а M2 – абсциссу x2.
Применим теорему Коши к функциям  s(x) и R(x) на отрезке       [x1,  x2]:
                                    [pic]
Где ( - число, заключённое между x1 и x2 .
Введём  обозначения  (рис.  ):       S(x2)  =  s2,   s(x1)=  s1,   R(x2)=R2,
R(x1)=R1

Тогда   [pic].  Но это значит, что [pic]. Теорема доказана.
Доказательство при возрастании радиуса кривизны аналогично.
Если кривая задана параметрически, то теоремы  1  и  2  остаются  в  силе  и
доказываются аналогично.
Укажем  без  доказательства  приёмы  приближённых  построений   эволюты   по
эвольвенте  и эвольвенты по эволюте.
1). Каждая нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте; эволюта  как
бы огибает  всё  семейство  нормалей  эвольвенты.  Поэтому,  если  постройть
достаточно большое число нормалей к эвольвенте L, то огибающая  их  линия  и
будет эволютой L! (рис.11 ).

2). Если гибкую нерастяжимую нить, обтягивающую заданную выпуклую  линию  L!
развёртывать, сохраняя  постоянно  натянутой,  то  каждая  её  точка  опишет
эвольвенту L. Поэтому  эвольвенту  называют  ещё  развёрткой.  Эта  операция
развёртывания нити  равносильна  качению  без  скольжения  прямой  линии  по
данной линии L!; Каждая точка такой прямой описывает эвольвенту L линии  L!.
Отсюда следует, что данная эволюта L!  имеет бесконечное число эвольвент  L.
В то же время любая данная  линия,  рассматриваемая  как  эвольвента,  имеет
только одну эволюту.


следует, что данная эволюта L!  имеет бесконечное число эвольвент  L.  В  то
же время любая данная линия, рассматриваемая как  эвольвента,  имеет  только
одну эволюту.



Заключение


В качестве заключения рассмотрим применение эвольвенты в технике.
В  технике  эвольвенту  окружности  применяют  для  профилирования  зубчатых
зацеплений. Пусть боковые поверхности зубьев  двух  цилиндрических  зубчатых
колёс с параллельными осями вращения, проходящими через точки O1 и O2  (рис.
б), очерчены по эвольвентам, а линия контакта зубьев при некотором  взаимном
положении колёс проходит через точку  К. Тогда в точке   К  нормали   КМ1  и
КМ2  к эвольвентам Э1 и Э2 будут лежать на отрезке М1М2 общей касательной  к
окружностям радиусов R1 и R2 соответственно (эти окружности по  отношению  к
эвольвентам являются эволютами). При вращении колёс точка   К   перемещается
вдоль  отрезка  М1М2  (новое  положение  эвольвент  показано  на  (рис.   б)
штриховыми линиями) до тех пор, пока рассматриваемая пара зубьев  не  выйдет
из взаимного зацепления. Однако зубчатую передачу  профилируют  так,  что  к
этому времени возникает зацепление между другой парой  зубьев,  и  линия  их
контакта снова перемещается вдоль отрезка  М1М2.
Если угловая скорость (2 ведущего колеса постоянна, то постоянна и  скорость
(2R2 движения точки К по  линии,  называемой  линией  зацепления.  Но  тогда
постоянна и угловая скорость (1 =(2R2/R1  ведомого  колеса.  Таким  образом,
эвольвентное зацеплние обеспечивает плавность  вращения  ведомого  колеса  и
постоянство передаточного отношения (1/(2 = R2/R1 зубчатой  передачи.  Кроме
того, некоторые изменения межосевого расстояния O1O2, вызванные  неизбежными
погрешностями  при  установке  зубчатых  колёс  не  влияют  на  передаточное
отношение, если эти погрешности, конечно, не столь велики, что  зубья  колёс
вообще не могут войти в зацепление.
Эвольвентное зацепление предложено математиком  Л. Эилером.

Примеры


1.  Найдём кривизну параболы   y = x2   в любой её точке.
Имеем:  [pic] и [pic].  Поэтому   [pic];   в частности кривизна параболы в
её вершине равна 2.

2.  Найдём кривизну прямой  y = ax + b  в её произвольной точке.
По формуле вычисления кривизны получаем  результат  К=0, означающий, что
прямая представляет собой «линию нулевой кривизны».

3.  Найдём уравнения эволюты параболы    y = x2 .
Найдём значения X и Y:    [pic],       [pic]
Исключив параметр x, найдём уравнение эволюты в явном виде:
[pic]

4.  Определим кривизну циклоиды [pic] [pic] в её произвольной точке.
[pic][pic][pic][pic]
Подставив полученные выражения в формулу [pic], получим:
[pic].

5.  Найдём уравнение эволюты эллипса, заданного параметрическими
уравнениями [pic][pic]
Вычислим производные от x и y по t:
       [pic]         [pic]    Подставим данные зн
123
скачать работу

Кривизна плоской кривой. Эволюта и эвольвента

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ