Лекции по механике
то по известной зависимости координат точки от времени (
известному закону движения ) x(t), y(t) и z (t) простым дифференцированием
можно найти проекции vx , vy , vz вектора скорости на координатные оси, а
следовательно и сам вектор скорости в любой момент времени. Величина
вектора скорости (его модуль) как и величина любого вектора находится как
корень квадратный из суммы квадратов соответствующих проекций:
[pic].
( 1- 6 )
Несколько сложнее решается обратная задача - нахождение закона движения по
заданной зависимости вектора скорости от времени. Например, если известна
зависимость от времени проекции скорости vx (t) , то зависимость координаты
х от времени x(t) находится путем интегрирования x(t) =[pic] + х0 , где х0
- координата точки в начальный момент времени ( при t = 0 ). Зависимость от
времени других координат находится аналогичным способом.
Кроме того, из формулы (1-3) вытекает, что скорость любого движения
можно представить как результат сложения трех прямолинейных движений вдоль
координатных осей X,Y и Z ,т.е. любое сложное движение можно представить
как сумму прямолинейных движений ( принцип суперпозиции движений ).
Примером применения этого принципа может служить вычисление так называемой
первой космической скорости, т.е. такой скорости, которою надо сообщить
любому телу параллельно земной поверхности, чтобы оно никогда не упало на
Землю. В прене-
| А vI ( t|брежении сопротивлением воздуха задача может |
|С |быть решена следующим образом. Движение тела, |
|[pic] |брошенного вдоль земной поверхности можно |
|RЗ B |представить как сумму двух движений: |
|RЗ |равномерного горизонтального движения со |
|O |скоростью бросания vI и свободного падения |
| |тела к поверхности Земли с ускорением g |
| |(ус-корением свободного падения). За |
| |достаточно малый промежуток времени (t тело |
|Рис.3. К выводу первой |пройдет, двигаясь перпендикулярно земному |
|космической скорости. |радиусу, расстояние АС = vI (t. (см.рис.3) |
| |Если же за это |
время, находясь в свободном падении, тело опустится на расстояние ВС так,
что ОВ = АО =Rз, то очевидно, что тело сохранит неизменной свою высоту над
поверхностью Земли. Из ( АОС по теореме Пифагора следует:АО2 + АС2 = ОС2.В
то же время АС = vI (t, АО ( RЗ (RЗ - радиус Земли), ОС = ОВ + ВС =[pic] +
(1/2)g((t)2
( предполагается, что время (t достаточно мало и проекцией скорости vI на
направление АО можно пренебречь). Заменяя стороны ( АОС на основании
приведенных равенств, имеем:
[pic] . (1- 7 )
После приведения подобных членов и сокращения обеих частей этого уравнения
на [pic] получим: [pic]. При (t 0 выражение для первой космической
скорости приобретает такой вид:
[pic] .
(1- 8 )
Как видно из вывода выражения для первой космической скорости, любое
тело, двигаясь вокруг Земли, находится в свободном падении, но уменьшение
высоты полета при свободном падении на Землю в точности компенсируется за
счет приращения расстояния до Земли при движении по касательной.
Однако случаи, когда тело сохраняет свою скорость неизменной, крайне
редки. Наоборот, в общем случае скорость изменяется как по величине, так и
по направлению. Для характеристики быстроты изменения скорости вводится
понятие ускорения. Ускорением в данный момент времени называется предел
отношения приращения скорости к интервалу времени, за который произошло это
приращение:
[pic] = v =[pic] .
(1- 9 )
Вектор ускорения можно также разложить по координатным осям:
а = а x i + a y j + a
z k . ( 1-10 )
Модуль вектора ускорения равен:
[pic] .
( 1- 11 )
Прямым дифференцированием аналогично компонентам вектора скорости
можно найти, что компоненты вектора ускорения равны:
a x = v x = x ; a y = v y = y ;
a z = v z = z . ( 1-12 )
Если известны зависимость от времени вектора ускорения и начальное
значение вектора скорости, то вектор скорости в любой последующий момент
времени путем интегрирования. Например, для проекции v x :
[pic] [pic] и [pic], ( 1-13 )
где v x0 - проекция скорости на ось Х в начальный момент времени. Ранее
указывалось, что по известной зависимости v (t) можно найти закон движения.
Следовательно, по известному ускорению, зная начальные значения положения
точки и ее скорости, можно найти ее закон движения. С точки зрения
практики вектор ус-
| D |корения удобнее представлять в виде |
|vA B |двух составляющих, одна из которых |
|vB |направлена по касательной к |
|(v |траектории, а другая по нормали, |
|A (vn |проведенной в точку касания. Пусть за |
|E ( vt C |время (t точка переместилась из А в В,|
| |и за это время ее скорость изменилась |
|Рис.4. Нормальная и тангенциальная |от vA до vB . |
| |Для того, чтобы найти изменение (v пе-|
|составляющие изменения скорости. | |
ренесем вектор vB в точку начала вектора vA. Тогда разность двух векторов
vB - vA
может быть представлена в виде вектора (v = DC. В свою очередь, вектор (v
мо-
жно представить тоже как сумму двух составляющих (v = (vn + (vt , где
вектор (vt находится как разность АС-АЕ ( АЕ=АD, АС= vB ), т.е. как
разность модулей векторов vB и vA. Вектор (vn характеризует изменение
направления вектора vA , т.к. vA = АЕ = АD. Треугольник DAE равнобедренный,
поэтому при уменьшении интервала времени (t до нуля ((t 0) угол DAE также
стремится к 0, а (АDЕ 900,
и (vn оказывается перпендикулярным направлению скорости. В то же время
ясно,
что направление вектора (vt при (t 0 приближается к направлению
касательной в точке А. Поэтому
[pic].
(1- 14 )
Первое из слагаемых в (1- 14 ) называют нормальной составляющей
ускорения или просто нормальным ускорением, а второе - тангенциальным.
Таким образом
[pic] ,
(1- 15 )
[pic] .
(1- 16 )
Модуль полного ускорения определяется следующим выражением:
[pic].
( 1-17 )
( 1 - 2. Кинематика вращательного движения.
| vA |Частным примером нормального ускорения служит |
|vA ( (v |центростремительное ускорение, возникающее при |
|( l vB |равномерном движении точки по окружности. Если |
| |за малый промежуток времени (t точка успевает |
|r |по-вернуться на угол (, то как видно из рис.5, |
|( |между |
| |перемещением (l , радиусом r , приращением (v и|
| | |
| |самой скоростью v можно записать следующее |
|Рис.5. К выводу центростре-|соотношение: |
| |[pic] . ( 1-18 ) |
|мительного ускорения | |
Из этого соотношения приращение скорости (v равно:
[pic]
( 1-19 )
Деля выражение ( 1-19 ) для приращения скорости на промежуток времени (t,
имеем:
[pic].
(1- 20 )
Для случая вращательного движения полезными оказываются такие
дополнительные кинематические характеристики как угловая скорость и угловое
ускорение. Величина угловой скорости ( определяется как отношение угла ((,
который описывает радиус-вектор точки за время (t, т.е.
[pic].
( 1-21 )
| |При этом угловой скорости приписывается |
|( |определенное направление, которое определяется|
| |следующим образом: направление отсчета угла |
|v |определяется направлением вращения, а |
| |направление ( определяется правилом правого |
|r |буравчика - оно совпадает
| |  скачать работу |
Лекции по механике |
