Математическая логика в младших классах
Только с знаком другим, -
И найдем результат нам желательный.
Ал – мукабала.
Дальше смотрим в уравнение,
Можно ль сделать приведенье,
Если члены в нем подобны,
Сопоставить их удобно,
Вычтя равный член из них,
К одному приводим их.
Таким образом, название «ал - джабра» носила операция переноса
отрицательных членов из одной части уравнения в другую, но уже с
положительным знаком. По-русски это слово означает «восполнение». Поэтому в
Испании, которая долгое время была под арабским владычеством, слово
«алгебрист» означало совсем не математика, а … костоправ.
А слово «ал - мукабала» означало приведение подобных членов. Оно не
такое употребимое как «ал – джабра» и о нем помнят только историки науки.
Вскоре начали изучение более сложных уравнений, но их успешному решению
мешало то, что не применяли букв. Но вскоре уравнения, которыми занимались
итальянские и немецкие математики, стали настолько сложными, что без букв
оказалось к ним подступится. И тут началось внедрение букв в алгебру.
С VI века центр математических исследований перемещается в Индию и
Китай, страны Ближнего Востока и Средней Азии. Индийские математики
использовали отрицательные числа и усовершенствовали буквенную символику.
В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII веке. Одним из
крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пезанский. Его
«Книга абака» - тракт, который содержал сведения об арифметике и алгебре до
квадратных уравнений включительно. Первым крупным самостоятельным
достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI веке формулы для
решения кубического уравнения. В конце XVI века французский математик Ф.
Виета ввел буквенные обозначения не только для неизвестных, но и для
произвольных постоянных.
Развитие буквенной символики позволило установить общие утверждения,
касающиеся алгебраических уравнений. В конце XVIII века было доказано, что
любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы
один комплексный корень. Это утверждение носит название основной темы
алгебры.
В начале XIX века алгебра получила самостоятельное обоснование, не
опирающаяся на геометрические понятия. Таким образом, в течение XIX века в
математике возникли разные виды алгебр.
В области преподавания арифметики Россия в XIX веке создала свою
передовую математическую школу, далеко опередив в этом смысле
западноевропейскую школу. Алгебра как дисциплина более абстрактная
оказалась в сильной зависимости от формально – схоластических тенденций.
Программы курса алгебры в первой половине XIX века поражают своей
громосткоcтью. Великий русский геометр с успехом преподавал математику в
гимназии и, кроме учебника геометрии, создал учебное руководство по
алгебре. В 1985 году Н. И. Лобачевский представил в Казанский университет
рукопись «Алгебра». Также над алгебраическими вопросами работают и такие
математики как В. А. Евтушевский («Сборник арифметических задач») в первой
части, которой ставится задача введение «алгебраического языка»; переход к
буквенным обозначениям от числовых формул задач, П. Л. Чебышев
(«Руководство алгебры») и т. д.
Начало нового века внесло существенные коррективы в преподавание
алгебры. Передовая педагогическая мысль признала, что в курс алгебры должны
быть включены: идеи переменной величины, понятие функции.
Историческую основу современной логики образуют две теории дедукции,
созданные в IV веке до н. э. Древнегреческими мыслителями: одна –
Аристотелем, другая – его современниками Мегарской школы. Преследуя одну
цель - найти «общезначимые» законы логоса, о которых говорил Платон, они,
столкнувшись, как бы поменяли исходные пути к этой цели.
Аристотель в сочинении «Топика» в качестве доказательства сформулировал
основное правило исчисление высказываний – правила «отделения заключения».
Именно на этом пути он ввел понятие высказывания как истинной или ложной
речи, открыл атрибутивную форму речи – как утверждения или отрицания «чего-
либо о чем-то», определил простое высказывание как атрибутивное отношение
двух терминов, открыл изоморфизм атрибутивных и объектных отношений,
аксиому и правило силлогизма.
Логические идеи мегариков были ассимилированы в философской школе
стоиков. В сочинениях стоиков логические высказывания предшествуют
аристотелевской силлогистики, оформляясь в систему правил построения и
правил вывода высказываний.
Эпикура – последняя наиболее важная для истории логики школа в
античности. В споре со стоиками эпикурейцы защищали опыт, аналогию,
индукцию. Они положили начало индуктивной логике, указав, на роль
противоречащего примера в проблеме обоснования индукции и, сформулировав
ряд правил индуктивного обобщения.
Эпикурейской «каноникой» заканчивается история логической мысли ранней
античности. На смену приходит поздняя античность. Ее вклад в логику
ограничивается переводческой деятельностью поздних перипатетиков и
неоплатоников.
Как самостоятельная наука логика развивается лишь в странах арабской
культуры (VII – XI век). Оригинальная средневековая логика, известная под
названием «logica modernorum» возникает лишь в XII – XIII веке.
Последующие два столетия – эпоха возрождения для дедуктивной логики были
эпохой кризиса.
В XIX – XX веке в трудах Дж. Буля возникает алгебраическая логика.
Развивалась она в работах Ч. Пирса, П. С. Порецкого, Б. Рассела, Д.
Гильберта и др. Основным предметом алгебраической логики стали
высказывания, рассуждения. Под высказыванием понимается каждое предложение,
относительно которого имеет смысл утверждать, истинно оно или ложно.
В алгебраической логике для обозначения истинности вводится символ И, а
для обозначения ложности - символ Л. Часто вместо этих символов
употребляются числа 1 и 0.
Можно сказать, что математическая логика изучает основания математики,
принципы построения математических теорий.
Основным предметом математической логики является построение и изучение
формальных систем. Центральным результатом является, доказанная в 1931 году
австрийским математиком Геделем теорем о неполноте, утверждающая, что для
любой «достаточно разумной» формальной системы существуют неразрешимые в
ней предложения, то есть такие формулы А, что ни сама формула А, ни ее
отрицания не имеют вывода.
§ 2 Математический язык. Понятие о математических словах и предложениях.
Когда мы пишем сочинение, письмо, выступаем на собрании, то свои мысли
выражаем при помощи предложений. Читая книгу, статью, мы опять встречаемся
с тем, что рассуждения есть цепочка некоторых предложений.
Изучая математику мы тоже пользуемся предложениями, которые могут быть
записаны как на естественно (русском) языке, так и на математическом, с
использованием символов (3 + 4 · 7 = 31). Математические предложения
характеризуются содержанием и логической структурой.
Но, как известно, любое предложение образуется из слов, а слова – из
букв некоторого алфавита. Алфавит состоит из: десяти цифр, для записи чисел
в десятичной системе (0,1,2,…,9); букв латинского алфавита, для обозначения
переменных, множеств их элементов (a, b, c, …, z, A, B, C, …, Z); знаков,
для записи действий (+, - , ·, :, ( , и др.); знаков отношений, для записи
предложений ( =, >, < и др.). А также в символических записях встречаются
скобки, запятая.
Из этих знаков конструируются слова и предложения. Слово – это такая
конечная последовательность букв алфавита, которая имеет смысл. Например,
запись 7 - : 8 + смысла не имеет, и, значит словом ее назвать нельзя.
В математике различаются элементарные и составные предложения. Например:
«Число 56 делится на 8» – это элементарное предложение. А предложение
«Число 56 четное и делится на 8» составное.
Среди суждений, устанавливающих различные отношения между понятиями,
выделяют высказывания и высказывательные формы. Высказыванием называется
предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или
ложно.
Например, предложение «число 8 четное» есть истинное высказывание, а
предложение «3 + 3 = 32» ложное высказывание. Каждому высказыванию
приписывают одно из двух значений: И (истина) и Л (ложь). Значения И и Л
называют значениями истинности высказывания. Если высказывание
элементарное, то его значение истинности определяется по его содержанию. А
если оно составное, то значение истинности зависит от значения истинности
составляющих его элементарных высказываний, соединенных при помощи слов:
«и», «или», частицы «не», «если…, то…» и др., которые называются
логическими связками.
Выясним смысл, который в математике имеет союз «и». Пусть А и В –
произвольные высказывания. Образуем из них, с помощью союза «и», составное
высказывание. Назовем его конъюнкцией и обо
| |  скачать работу |
Математическая логика в младших классах |
