Математическая логика в младших классах
значим А ? В (читают: А и В).
Конъюнкицией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое
истинно, когда оба высказывания истинны, и ложно, когда хотя бы одно из
этих высказываний ложно.
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания
«Число 102 четное и делится на 9». Высказывание имеет форму «А и В», где А
– число 102 четное – И, а В – число 102 делится на 9 – Л. Следовательно, и
все предложение ложно.
Выясним теперь, какой смысл в математике имеет союз «или». Пусть А и В –
произвольные высказывания. Образуем из них с помощью союза «или» составное
высказывание. Назовем его дизъюнкцией и обозначим А ? В (читают: А или В).
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А ? В, которое
истинно когда истинно хотя бы одно из этих высказываний, и ложно, когда оба
высказывания ложны.
Используя данное определение, найдем значение истинности высказывания
«Число 15 четное или делится на 3», высказывание имеет форму «А или В»,
где А – Число 15 четное – Л, а В – число 15 делится на 3 – И.
Следовательно, и все предложение истинное.
Очень важно знать какой из союзов «и» или «или» присутствует в
предложении, иначе может получиться например такое недоразумение: Как-то
раз Катя пошла гулять с собакой, и вернулась с прогулки взволнованная.
Какой-то прохожий упрекнул ее в нарушении правил содержания собак в городе.
Листок с правилами был наклеен на заборе, и одно из них гласило: собака на
прогулке должна быть на поводке… в наморднике (кусочек бумаги после слов
«на поводке» был оторван).
Она спустила собаку с поводка, но оставила в наморднике. На этом примере
хорошо видна роль союза. Если бы был союз «и», прохожий оказался бы прав.
Если бы союз «или» была бы пава Катя.
Часто в математике приходится строить высказывание, в которых что-либо
отрицается. Например, дано высказывание «Число 12 простое». Это ложное
высказывание. Построим его отрицание: «Неверно, что число 12 простое».
Получили истинное высказывание. Отрицание высказывания А обозначают ?
читают: «Не А» или «Неверно, что А».
Вообще, отрицанием высказывания А называется высказывание ?, которое
истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.
Также составные высказывания можно получить при помощи слов «если…,
то…». Например: «Если я куплю билеты, то пойду в театр», «Если ученик
получил на экзамене положительную оценку, то он сдал этот экзамен».
Высказывания имеет форму «Если А, то В» и называется импликацией
высказываний А и В (от латинского слова implicatiomecho связывают).
Импликацию высказываний А и В записывают так: А ( В и читают «Если А, то
В». Высказывание А называют условие импликации, а высказывание В - ее
заключением.
Считают, что импликация А ( В истинна во всех случаях, кроме случая,
когда А истинно, а В ложно.
Но существует еще и импликация обратная данной. Переставив местами
импликацию двух высказываний А ( В получим В ( А. Ее называют импликацией,
обратной импликации А ( В. Например, если дана импликация «Если вам больше
14 лет, то вы имеете паспорт», то импликация, обратная данной, такова:
«Если вы имеете паспорт, то вам больше 14».
Образуем конъюнкцию двух взаимно обратных импликаций А ( В и В ( А, то
есть высказывание вида (А ( В) ? (В ( А). Это высказывание истинно только
тогда, когда высказывания А и В оба истинны, либо оба ложны. Высказывания
данного вида называют эквиваленцией высказываний А и В и обозначают:
А ( В. Запись читают: а) А равносильно В; б) А тогда и только тогда,
когда В; в) А, если и только, если В.
Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует
предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны.
Например, эквиваленция «2 = 3 тогда и только тогда, когда 3 < 5» - ?,
потому что ложно высказывание «2 = 3».
Все эти определения можно записать с помощью таблицы, называемой
таблицей истинности.
|А |В |А ? В |А ? В |? |А ( В |В ( А |(А(В) ? (В(А) |
|И |И |И |И |? |И |И |И |
|И |? |? |И | |? |И |? |
|? |И |? |И |И |И |? |? |
|? |? |? |? | |И |И |И |
В математике часто встречаются предложения, содержащие одну или
несколько переменных. Например: Х < 3; Х + У = 8. Эти предложения не
являются высказываниями, т. к. относительно их не имеет смысла вопрос,
истинны они или ложны. Но при подстановке значений переменных эти
предложения в высказывания (истинные или ложные).
Предложения такого вида называния высказывательными формами или
предикатами. Каждая высказывательная форма порождает высказывания одной и
той же формы. Высказывательная форма содержащая одну переменную называется
одноместной, а две двух местной.
И так, высказывательная форма – это предложение с одной или несколькими
переменными, которое обращается в высказывание при подстановке в него
конкретных значений переменных.
Среди всех возможных значений переменной существуют те, которые обращают
высказывательную форму в истинное высказывание. Множество таких значений
переменных называют множеством истинности высказывательной формы. Например,
множеством истинности предиката Х > 5, заданного на множестве
действительных чисел, буде промежуток (5;?).
Обозначим множество истинности высказывательной формы буквой Т. Тогда
согласно определению, всегда Т ( Х.
Также как и высказывания, предикаты бывают элементарные и составные.
Составные образуются из элементарных при помощи логических связок.
Пусть на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х). Предикат
А(х) ( В(х), х ( Х называют импликацией данных предикатов. Он обращается
в ложное высказывание лишь при тех значениях х из множества Х, при которых
предикат А(х) ( В(х) истинен. Говорят что предикат В(х) логически следует
из предиката А(х).
Вообще если на множестве Х заданны два предиката А(х) и В(х) и известно,
что предикат В(х) логически следует из предиката А(х), то предикат В(х)
называют необходимым условием для предиката А(х), а А(х) – достаточным
условием для предиката В(х). Очень часто слова «необходимое условие»
заменяют словами «только тогда», «только в том случае».
Мы выяснили, что при подстановки значений переменных в предикат,
получаем истинное или ложное высказывание. Но это превращение можно
осуществить и другим образом.
Если перед высказывательной формой «число х кратно 5» поставить слово
«всякое», то получится предложение «всякое число х кратно 5». Относительно
этого предложения можно задать вопрос, истинно оно или ложно. Значит
предложение «всякое число х кратно 5» (х ( N) – высказывание, причем
ложное.
Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общности по
переменной х и обозначается символом (х.
Высказывание «существует х такое, что …» в логике называется квантором
существования по переменной х и обозначается символом (х.
Наряду со словом «всякий» употребляют слова «каждый», «любой», а вместо
слова «существует» используют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя
бы один».
Используя слово «некоторый» в обычной речи имеют в виду «по меньшой мере
один, но не все», в математике же слово «некоторые» обозначает «по меньшей
мере один, но может быть, и все». И так, если задана одноместная
высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание,
достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней
переменную. Если же высказывательная форма содержит несколько переменных,
то перевести ее в высказывание можно, если связать кванторм общности или
существования содержащуюся в ней переменную. Если же высказывательная форма
содержит несколько переменных, то перевести ее в высказывание можно, если
связать квантором каждую переменную. Например, если дана высказывательная
форма «х > у», то для получения высказывания надо связать квантором обе
переменные. Например, ((х)((у) х > у или ((х)((у) х > у.
Одна важно уметь не только переходить от высказывательной формы к
высказыванию с помощью кванторов, но и распознавать высказывания,
содержащие кванторы, и выявлять их логическую структуру.
Часто в высказываниях квантор опускается; например, переместительный
закон сложения чисел записывают в виде равенства а + в = в + а, которое
означает, что для любых чисел а и в справедливо равенство а + в = в + а, то
есть переместительный закон сложения есть высказывание с квантором
общности.
Истинность высказывания с квантором общности устанавливается путем
доказательства. Что бы убедиться в ложности таких высказываний, достаточно
привести контр пример.
Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при
помощи конкретного примера. Чтобы убедится в л
| |  скачать работу |
Математическая логика в младших классах |
