Математическая мифология и пангеометризм
ручкой на бумаге. Те или иные эмпирические «подпорки» постоянно
сопровождают геометрическую мысль. В каком смысле можно говорить, что она
от них независима? Ведь хорошо известно, что уже в случае достаточно
сложной задачи из элементарной геометрии практически невозможно обойтись
без помощи эмпирического чертежа (8) .
Подобные недоумения были удачно разрешены еще Аристотелем. Да, геометр
рассуждает, глядя на нарисованный им на доске треугольник. Можно даже
сказать, что он рассуждает об этом самом нарисованном треугольнике, однако,
не поскольку он нарисован мелом и на доске, т.е. не поскольку он есть
некоторый объект эмпирического мира, а поскольку этот треугольник
организован в нашем представлении по определенным закономерностям. Точнее:
этот эмпирический чертеж позволяет геометру удерживать внимание на
определенной пространственной конфигурации. При этом нам не столь уж важно
способны мы представлять треугольник полностью свободным от эмпирических
характеристик (напр., цвета) или нет. Нам вполне достаточно различать в
самом эмпирическом предмете пространственно-временные характеристики ото
всех остальных. Так разные (с эмпирической точки зрения) чертежи вполне
могут представлять одну и ту же геометрическую конфигурацию (единый
гештальт) (9) .
Однако мы можем задать теперь следующий вопрос: а в самом ли деле мы
способны отличать пространственно-временные характеристики ото всех
остальных? Кант убежден, что да. Но приводимый им в подтверждение этого и
уже упомянутый выше мысленный эксперимент отнюдь не доказывает желаемого.
Он вызывает в нашем воображении лишь некие смутные образы (из разновидности
«образов абстрактного», которые Р.Арнхейм уподобляет импрессионистской
живописи). Интерсубъективность таких образов может вызвать серьезные
сомнения. Значительно более надежно указывают на интересующий нас предмет
сами слова «пространство» и «время». Сам факт устойчивого существования их
в языке предполагает наличие постоянной преемственности в контекстах их
употребления, в достаточной степени обеспечивающей взаимопонимание (хотя и
не гарантирующей абсолютной неизменности их смысла!). Во всяком случае, эти
слова определяют свой предмет не хуже чем слово «математика» - свой (10) .
Более конкретным разъяснением вкладываемого в них в настоящем выступлении
смысла может служить лишь сам текст этого выступления. Но, что же все-таки
способен прояснить для нас мысленный эксперимент Канта? Во всяком случае,
достаточную фундаментальность ситуаций употребления слов, выражающих
пространственно-временные характеристики.
В-третьих, определенного комментария требует и утверждение о данности
геометрических фигур в созерцании. Еще Декартом был приведен знаменитый
пример с тысячеугольником [9, с.58], который не может быть нами воображен.
Хуже того: даже такие простейшие геометрические объекты как «точка» или
«прямая» непредставимы наглядно в точном смысле слова, ведь простейший
мысленный эксперимент убеждает нас в непредставимости ни слишком малого, ни
слишком большого [25, с.208; 12, с.273-274; 26, с.63-65; 32, с.44-48, 101-
111; 33, с.37-38]. Действительно, мы не можем представить точку, не имеющую
размеров, не можем представить линию, не имеющую толщины, не можем сразу
охватить взглядом бесконечную прямую. Однако это не мешает нам представлять
прямые и точки все же достаточно отчетливо для того, чтобы отличать
различные части геометрической конструкции друг от друга и непосредственно
«видеть» их взаимное расположение. Прямую мы имеем возможность «видеть»
достаточно тонкой для того, чтобы в процессе рассуждения не обращать
внимания на ее толщину, а точку - достаточно малой для того, чтобы
игнорировать ее размеры (11) . Действительно, мы не можем представить
тысячеугольник настолько отчетливо, чтобы отличать его от многоугольника с
несколько большим или несколько меньшим числом сторон. Однако мы можем
достаточно отчетливо представить его сторону и соединение ее с соседними
сторонами, а этого уже вполне достаточно для изучения математических
свойств соответствующей конструкции (подробнее это будет разъяснено ниже).
В-четвертых, необходимо сказать несколько слов о времени в геометрии.
Выражение «пространственно-временное конструирование» следует понимать как
пространственную организацию и переорганизацию элементов во времени. Время
входит в геометрические конструкции лишь как динамика их пространственных
элементов. Время в геометрии всегда есть лишь движение пространственных
элементов. Время как таковое не подлежит не только геометрическому, но и
математическому изучению вообще, да и движение как таковое также. Лишь
подменив время движением, а движение его пространственным следом
(траекторией) мы можем сделать их предметом математического изучения. По
существу мы будем изучать при этом не время и не движение, а особенности
пространственной организации самой траектории. Даже изучая в элементарной
геометрии, что может быть построено с помощью циркуля и линейки, а что -
нет, мы также не делаем предметом нашего рассмотрения геометрическое
становление как таковое, но скорее - раскрываемые им особенности
организации пространства (12) .
Итак, мы сделали некоторые наблюдения над простейшими проявлениями
геометрической мысли в эстетическом ее аспекте. Следующим шагом,
естественно, должна стать попытка, распространить наши рассуждения и на
другие области математики, проверить, не обнаружим ли мы и там то, что
привлекло наше внимание в простейших геометрических примерах. Необходимо
выяснить, в какой мере то, что было сказано нами о геометрии, можно
повторить и о математике вообще; что можно повторить дословно, а что лишь
mutatis mutandis.
Кант этот шаг делает: конструктивный характер математическое мышление
сохраняет и за пределами геометрии, однако собственно геометрическое, или
остенсивное, конструирование заменяется в арифметике и алгебре на
символическое [11, т.3, с.530-531, 542].
Нечто принципиально новое, по сравнению с рассмотренным выше собственно
геометрическим конструированием, мы обнаруживаем уже на примере позиционной
записи натуральных чисел. Введя строго фиксированный конечный набор
графических символов и определенные правила их комбинирования, мы получаем
возможность, наглядно представлять достаточно большие натуральные числа и
производимые над ними действия. В эстетическом аспекте вся арифметика
натуральных чисел предстает как система организуемых на плоскости
графических символов. Организация символов производится посредством
нескольких типов манипулирования этими символами: расстановки и
перестановки знаков, замены одних знаков другими. Вспомним хотя бы
умножение «столбиком» или деление «уголком». Указанные манипуляции могут
быть охарактеризованы как квазигеометрические, поскольку, представляя из
себя операции с графическими знаками как целостными образованиями,
собственно геометрическими они не являются (геометрическая конфигурация
самого знака здесь совершенно неважна, важно лишь удобство его с точки
зрения простоты написания, перестановок и замен, а также достаточное
отличие от других знаков в рамках той же системы [7, с.58, 61-62]).
Работа с более богатой и разнообразной алгебраической графикой также может
быть охарактеризована как манипулирование графическими символами.
Рассмотрим, в качестве примера, одну из простейших алгебраических
конструкций - группу. Группа - это совокупность элементов (в качестве
графических символов можно использовать буквы латинского алфавита), правила
манипулирования с которыми, задаются следующими условиями, называемыми
аксиомами группы: (G1) из двух элементов x и y можно составить новый
графический символ x•y; (G2) графические символы (x•y)•z и x•(y•z) являются
взаимозаменяемыми; (G3) среди элементов группы имеется элемент, называемый
нейтральным, который обозначим e, такой, что содержащие его графические
символы x•e, e•x и x являются взаимозаменяемыми; (G4) вместе с элементом x
имеется элемент, называемый обратным для x, обозначим его x', такой, что
символы x•x', x'•x и e являются взаимозаменяемыми. Во всех аксиомах x, y и
z - произвольные элементы группы. Доказательства каких-либо утверждений
относительно групп представляют собой разворачивание определенных
квазигеометрических конструкций. Это демонстрация определенных особенностей
манипуляции с графическими символами при соблюдении указанных правил.
Рассмотрим, например, как производится доказательство того, что нейтральный
элемент единственный. Демонстрируется, что любые два графических символа,
изображающие нейтральный элемент, взаимозаменяемы. В самом деле, пусть это
символы e и f. Тогда, согласно правилу (G3), f взаимозаменяем с e•f, а этот
последний символ - с e, следовательно, e и f взаимозаменяемы. Перед нами
манипуляционное обоснование, в основе которого всегда лежат простейшие
манипуляции, типа «подставить вместо», являющиеся неформальными,
геометрически очевидными действиями. Понимание того, что они обозначают,
всегда негласно предполагается. Н.Малкольм сохранил следующую мысль
Витгенштейна: «Доказательство в математике заключается в том, что ура
| |  скачать работу |
Математическая мифология и пангеометризм |
