Математическая мифология и пангеометризм
внение
записывают на бумаге и смотрят, как одно выражение вытекает из другого. Но
если всегда подвергать сомнению выражения, которые появляются на бумаге, то
не может существовать ни доказательств, ни самой математики» [17, с.90].
Вспоминаются также слова Г.Вейля: «Способ, каким математик обращается со
своими формулами, построенными из знаков, немногим отличается от того, как
столяр в своей мастерской обращается с деревом и рубанком, пилой и клеем»
[7, с.58].
В эстетическом аспекте, как геометрическое, так и математическое
доказательство вообще, предстает как демонстрация, т.е. непосредственный
показ того, как соединяются, «стыкуются» элементы соответствующей
математической конструкции. Результат же математического доказательства -
математическое утверждение - есть, в интересующем нас аспекте, утверждение
об особенностях соединения элементов математической конструкции, которое мы
имели возможность «видеть» в процессе доказательства. Неслучайно
математическое утверждение получило название теорема (theorema), т.е.
«зрелище», «то, что смотрят».
Как известно, самый веский аргумент для обыденного мышления звучит
приблизительно так: «Я сам видел, не веришь - пойди и посмотри».
Заслуживает внимания, что наиболее точная из теоретических наук -
математика, составляющая как бы диаметральную противоположность обыденному
знанию, черпает доказательную силу своих рассуждений в непосредственной
наглядности своего предмета, т.е. также в возможности «увидеть самому» и
«показать другому». Можно сказать даже, что подлинной убедительностью,
подлинной доказательной силой обладает только демонстрация
(непосредственный показ). Как говорит Шопенгауэр: «Последняя, т.е. исконная
очевидность, - созерцаема, что показывает уже само слово» [36, т.1, с.200].
Если бы не существовало обсуждавшихся выше естественных ограничений
возможностей нашего наглядного представления пространственно-временных
отношений (в восприятии слишком большого, слишком малого и т.п.), то,
возможно, и математического доказательства, а тем самым и теоретической
математики не возникло бы. Математикам не понадобилось бы идти далее
лаконичного «смотри» древних индийцев или перегибания чертежа (как, по-
видимому, обосновывал геометрические утверждения еще Фалес). Мы могли бы
смело, вслед за Шопенгауэром [36, т.1, с.104-108, 196-216, т.2, с.212-214],
возмутиться хитросплетениями доказательств от противного, производимых
Евклидом там, где достаточно всего лишь перегнуть рисунок, и полагать, что
самым лучшим обоснованием теоремы Пифагора является удачный чертеж без
каких-либо комментариев.
Однако указанные ограничения существуют, и именно обговаривание
соответствующих чертежей и их особенностей знаменовало рождение математики
как таковой. Но математики не смогли бы продвинуться достаточно далеко в
своих изысканиях, если бы не научились воплощать словесные рассуждения в
квазигеометрические символические построения, т.е. не смогли бы вновь
опереться на геометрическую оче-видность, но на качественно новом уровне.
Именно слово (logos) оказывается тем связующим звеном, которое позволяет
шагнуть от геометрического конструирования к квазигеометрическому
манипулированию графическими символами (13) . «Посредством понятийного
мышления - говорит Г.Рейхенбах - мы можем перейти от созерцания к
преобразованному созерцанию. Человеческий разум обладает способностью, так
сказать, «перехитрить» визуальные образы с помощью абстрактных понятий и
после этого продуцировать новые образы» [26, с.67].
Уже при решении простейших задач геометрии, наряду с собственно
геометрическим конструированием систематически применяется и
квазигеометрическое конструирование. Возвращаясь к примеру с
тысячеугольником, можно заметить, что хотя его наглядное представление и
невозможно в той степени, в какой оно осуществимо для трех- или
пятиугольника, однако, сохранить конструктивный характер соответствующих
рассуждений легко удается посредством введения алгебраической символики,
позволяющей рассуждать о соотношении углов и отрезков соответствующей
конфигурации вне зависимости от числа сторон, а также различать,
неразличимые в наглядном представлении многоугольники с тысячью и тысяча
двумя сторонами. Там, где геометрическая наглядность нам отказывает, мы
можем опереться на наглядность квазигеометрическую. При этом, как мы могли
отвлекаться (абстрагироваться) от толщины геометрических линий и размера
геометрических точек, так мы абстрагируемся и от конкретного очертания
используемых нами алгебраических знаков, сосредотачивая внимание лишь на
системе пространственно-временных отношений, с их помощью передаваемых.
То, что математик занимается при этом именно пространственно-временными
отношениями, хорошо иллюстрируется широким применением в математике
аксиоматического метода. Ведь главная его идея состоит в сведении
определения объекта к указанию системы отношений, в которых этот объект
может находиться с другими объектами той же теории.
Итак, в эстетическом аспекте математическое мышление предстает перед нами
как пространственно-временное конструирование, которое может выступать либо
в форме собственно геометрического конструирования, либо как
квазигеометрическое конструирование, т.е. манипулирование графическими
символами.
. Что изучает математика?
. Пространственно-временные конструкции.
. Как она это делает?
. Посредством разворачивания пространственно-временных конструкций
другого уровня.
Такой взгляд на природу математики может быть охарактеризован как
пангеометризм (14) . Для него ключем к пониманию специфики математического
мышления является именно образный аспект математики, понятийно-логический
же аспект рассматривается при этом как вторичный.
4. Математика мистиков, философов, поэтов и традиционная история
математики (Вместо заключения).
Разворачивание математических пространственно-временных конструкций
способно вызывать особое чувство красоты, которое без сомнения служит
важнейшим психологическим стимулом, как к профессиональным, так и к
любительским занятиям математикой. Как всякая подлинная красота,
математическое действо обладает магическим обаянием. Оно способно создать в
нас ощущение прикосновения к тайне, а порой и религиозный восторг.
Это безошибочно угадал особенно чуткий к такого рода вещам Новалис (Фридрих
фон Гарденберг, 1772-1801). В его «Фрагментах» (в первую очередь имеются в
виду «гимны к математике», как назвал их Вильгельм Дильтей) мы находим
отчетливое выражение этих мыслей: «Истинная математика - подлинная стихия
мага. Истинный математик есть энтузиаст per se. Без энтузиазма нет
математики. Жизнь богов есть математика. Чистая математика - это религия.
На Востоке истинная математика у себя на родине. В Европе она выродилась в
сплошную технику» [19, с.153]. Новалис убежден, что поэт понимает природу
лучше, чем ученый. Не ученому и созданной благодаря его усилиям технике
дано овладеть миром, но поэту, способному расслышать сокровенный ритм
мироздания. Не извне, но изнутри обретается мир. «Истинная математика»
Новалиса - это та математика, которая позволяет нам уловить этот скрытый
ритм. «Всякий метод есть ритм: если кто овладел ритмом мира, это значит, он
овладел миром. У всякого человека есть свой индивидуальный ритм. Алгебра -
это поэзия. Ритмическое чувство есть гений» [19, с.152].
Современная математическая культура мало располагает нас к пониманию того,
что это за истинная математика (которая в то же время есть истинная поэзия,
истинная религия и истинная магия), о которой так вдохновенно говорит
Новалис (15) . Может быть поэтому мы так плохо понимаем и математику
пифагорейско-платонической традиции, а также многие другие феномены
европейской духовной культуры столь же необычно для нас воспринимающие
математику и развивающие ее. И дело здесь не столько в культурной гордыне,
сколько в реальных барьерах мешающих пробиться к существу реалий иной
культуры. Пример того, что удается увидеть современному математику,
обратившемуся к «второстепенным страницам истории» дает книга Дэна Пидоу
«Geometry and the Liberal Arts» (1976). Автору остается лишь огорчаться,
что мы утратили способность восхищаться природой простых геометрических
фигур, и надеяться, что «неопифагорейские учения все же получат
распространение в культуре грядущих поколений» [20, с.207]. Несомненно,
более удачными следует признать попытки П.А.Флоренского и А.Ф.Лосева,
которые и явились главными вдохновителями моего интереса к данной области,
однако внимательное знакомство с их трудами еще раз убеждает насколько
серьезные трудности приходится преодолевать на этом пути.
Мартин Дайк, автор монографии, посвященной математическим фрагментам
Новалиса, говорит о своей книге: «Настоящее исследование отчасти
предпринято для тех математиков-профессионалов, которым может случиться
ознакомиться с фрагментами Новалиса и обнаружить, что математические
понятия применяются здесь, хорошо или плохо, но к таким предметам, которые
не принято рассматр
| |  скачать работу |
Математическая мифология и пангеометризм |
