Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел. Множество - совокупность некоторых объектов Элементы множества - объекты составляющие множество Числовые множества - множества элементами которых являются числа. Задать множество значит указать все его элементы: 1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что... A={а-Р(а)} равноценны Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых предикат истина. 2 Способ: Конструирование из других множеств: AЪB = {c: cОA Ъ cОB}, AЩB = {c: cОA Щ cОB}, A B = {c: cОA Щ сПB} U - универсальное множество (фиксированное) UіA; U A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A) Свойства: 1. AЪ(BЪC)=(AЪB) ЪC - ассоциативность; AЪB=BЪA - коммутативность; AЪЖ=A; AЪU=U 2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ(AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ(AЩC) - дистрибутивность; АЩЖ=А A” =A - закон исключающий третьего (AЪB)’=A’ЩB’; (AЩB)’=A’ЪB’; AЩA’= Ж Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна. "=>" cО(AЪB)’ => cПAЪB => cПA & cПB => cО A’ & cОB’ => cОA’ЩB’ "<=" cОA’ЩB’ => cОA’ & cОB’ => cПA & cПB => cПAЪB => cО(AЪB)’ Отображение множеств: f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B) aОA; bОB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b при отображении f Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В, значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB) Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные) Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый) Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно. Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N) Теорема: Множество Q счетно. Докозательство: Q=[pic] Лемма 1: " nОN Z/n - счетно. Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n: 10®0/n 5®-2/n 2®+1/n 6®+3/n 3®-1/n 7®-3/n 4®+2/n ... Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа счетных множеств - счетно. А1={а11, а12, а13,...} А2={а21, а22, а23,...} А3={а31, а32, а33,...} ... Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22 - 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа счетных множеств - счетно. Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через полуокружность и лучи) Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно 2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью. Плотность Q в R. Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ОZ а1,а2,а3,... О{0,1,...,9} Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части: [ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2 а3...а’к (9), где а’к=ак-1 х=[хо],х1 х2 х3...хк... у=[уо],у1 у2 у3...ук... х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет) у”к+1 Ј у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1 у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 і 0 10 - ук+1 - 1 / 10к+1 і 0 9 і ук+1 Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к 2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9) Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у 2) х>у & у>z => х>z 3) х не> х Док-во (2): х>у у>z х’к>у”к у’m>z”m n=max{k;m} х’nіх’к>у”кіу”n у’nі у’m>z”mіz”n у”n>у’n => х’n>z”n Определение: Если АМR и " х,уОR $ аОА: х<а<у, то А плотно в R Теорема: Q плотно в R. Доказательство: х > у х’к > у”к х і х’к у”к і у х і х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ОQ 3.Несчетность множества действительных чисел. Теорема: R несчетно. Доказательство от противного: 1«х1=[х1], х11 х12 х13... | 2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде 3«х3=[х3], х31 х32 х33... | ... | (*) к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... | ... | Найдем число которого нет в таблице: с=[с], с1 с2 с3... [с]№[х1] => с№х1 с1 П {9;х21} => с№х2 с2 П {9;х32} => с№х3 ... ск П {9;хк+1к} => с№хк Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*) 5.Теорема Дедекинда о полноте R Пусть 1) 0№АНR; 2) " aОA, " bОB: а A ограничено сверху => $ SupA=m => "bОB: bіm => B ограничено снизу =>$ InfB=n, mЈn Докажем, что m = n: Пусть m cПА & cПВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mЈn следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим аЈсЈb Докажем, что с единственное(от противного): Пусть $с’№с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию. "с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что bc’)-противоречие с "aОA, "bОB: аЈсЈb 8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах) Если $n0: "n>n0 xNЈyNЈzN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim yN=y => x=y=z. Доказательство: "n>n0 xNЈyNЈzN Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNО(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNО(х- Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNО(x-E,x+E) 4. Верхние и нижние грани числовых множеств. Определение: АМR mОR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аОА аЈm (аіm). Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что " аОА, выполняется аЈm (аіm). Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A 2) " m’: m’ m’ не верхняя грань A InfA = n, если 1) n - нижняя грань A 2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aОA aЈm 2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE>a-e InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aОA aіn 2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE[m]+1 - верхняя грань A Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей m1=max[10*{a-[m]:aОA}] m2=max[100*{a-[m],m1:aОA}] ... mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aОA}] [[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя грань A Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная: "к: [m’K,m”K)ЗA№0; "к "аОА: аm”K => $ к: а’K>m”K => аіа’K>m”K - это противоречит ограниченности => aЈm Точная верхняя грань: Пусть ll”K, но так как "к [m’K,m”K) ЗA№0 => $ аО[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань. Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АМR, имееет точную нижнюю грань, причем единственную. Рассмотрим множество B{-а: аОА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA 6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства. Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0 |аN|<Е) Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм последовательностью. Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=aN+bN, dN=aN-bN. Так как вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’: "n>n’: |aN|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN|<Е/2 & |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|n0 |aN|<Е/с.Таким образом "n>n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|<Е/с * с=Е Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN|ЈaN => bN - бм Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|<Е. Для n>=max{n’,n”} |bN|Ј|aN|<Е Определение: Последовательность аN называется бесконечно большой (бб) если "Е>0 $ n0: n>n0 |аN|>Е) Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно. Доказательство: "=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|<1/E =>1/|aN|>Е. "<=" 1/|aN| - бб последовательность => "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е => |aN|<Е Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность bNі|aN| => bN - бб. Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bNі|aN|>Е 7.Арифметика пределов Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность aN-a является бм (обратное тоже верно) Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть aN=aN-a. |aN|=|aN-a|<Е Обратное: Пусть aN=aN-a, т.к. aN - бм => |aN|ЈЕ. |aN|=|aN-a|<Е Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то: 1. $ Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у 2. $ Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у 3. "n yN№0 & y№0 => $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у Доказательство: Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм 1) (xN+

1 2 3

скачать работу

Отправка СМС бесплатно