 |
|
Математический анализ
енная последовательность =>"n аNЈхNЈbN хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n аЈхNЈb =>аЈхЈb х - частичный предел последовательности хN Пусть М - множество всех частичных пределов. Множество М ограничено (аЈМЈb) => $ SupM & $ InfM Верхним пределом посл-ти xN называют SupM№Sup{xN}: пишут Lim xN Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM№Inf{xN}: пишут lim xN Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения. Достижимость: Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть хNK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN. Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN $ х’ОМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ОМ => $ подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0 (в частности Е=1/к) $ s0: "s>s0 => х’-1/к<хNS<х’+1/к х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ) х-2/к<хNS<х+1/к Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е $ s0: "s>s0 это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS с номером больше s0 и нумеруем его хN1 k=1: х-2/1<хN1<х+1/1 k=2: х-2/2<хN2<х+1/2 n1<хNK<х+1/к nK-10 $ n0: "n>n0 и любого рОN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е. Геометрически это означает что "Е>0 $ n0, такой что расстояние между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами, меньше Е. Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть сходилась необходимо и достаточно, чтобы она являлась фундаментальной. Доказательство: Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n0 |хN-х|<Е/2. n>n0, n’>n0 |хN-хN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е Достаточность: Пусть хN - фундаментальная 1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хN-хN’|<Е, n>n0, n’>n0 "n>n0 |хN-хN0|<Е1 х N0-1998<хN<х N0+1998 => хN - ограничена 2) По теореме Больцано-Вейерштрасса $ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы |хNK-х|<Е/2 и одновременно nк>n0. Следовательно (из фунд-ти) |хN-хNK|<Е/2 => |хNK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хN-хNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хN<хNK+Е/2 => х- Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е
| |  скачать работу |
Математический анализ |
|
|
|
Погода в Алматы |
на 10 дней |
другой город |
|
