Математический анализ

<хЈb) - открытый справа (слева) промежуток 3) Mножество хОR: а<х & x $ Lim aN=a a1ЈaNЈbN bN монтонно убывает & a1ЈbN => $ Lim bN=b aNЈa bЈbN aNЈbN => aЈb Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b Пусть c=a=b, тогда aNЈcЈbN Пусть с не единственное: aNЈc’ЈbN, с’№с aNЈcЈbN=>-bNЈ-cЈ-aN => aN-bNЈc’-cЈbN-aN => (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN-bN)ЈLim(c’-c)ЈLim(bN-aN) => (a-b)ЈLim(c`-c)Ј(b-a) => 0Јlim(c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c’=c => c - единственное. Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®Ґ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон). 42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению наибольших и наименьших значений. Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0О(a;b). Точка x0, называется точкой локалниого min(max), если для всех xО(a;b), выполняется f(x0)f(x)). Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта производная f‘(x0)>0(f‘(x0)<0), то для значений х, достаточно близких к x0 справа, будет f(x)>f(x0) (f(x)f(x0)). Доказательство: По определению производной,[pic]. Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x0+d) точки x0, в которой (при х№x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x00 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если же x-d<0, то очевидно и f(x)-f(x0)<0, т.е. f(x)0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0), если x>x0 и достаточно близко к x0, либо f‘(x0)<0, и тогда f(x)>f(x0), если x получили противоречие => теорема доказана. Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на [a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где производной нет, либо она равна нулю. 43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении). Теорема Ролля Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] 2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b) 3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b) Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(x)=0 во всем промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b). 2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0) следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль. Теорема Коши: Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)№g(a) 2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b) 3) g’(x)№0 в отткрытом промежутке (a;b) Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(c) -[pic]*g’(c) или f’(c) =[pic]*g’(c). Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)№0) получаем требуемое равенство. Теорема Лагранжа: Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] 2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом промежутке (a;b) Тогда между a и b найдется такая точка c(a0, [x0+h;x0] h<0) 11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN и n®kN получа ем посл- ть aKn-которая наз. подпосл-тью посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов. Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а. Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности. Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0 |аN-а|<Е, ввиду того что kN®Ґ существует и такое n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех же значениях n будет верно |аKn-а|<Е Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство: хN - ограничена => "n: аЈхNЈb. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1,b1] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [аK,bK]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN. Длина к-того промежутка равна bK-аK = (b- a)/2K, кроме того она стремится к 0 при ꮥ и аKіаK+1 & bKЈbK+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n аNЈcЈbN. Теперь построим подпоследовательность: хN1 О[а1,b1] хN2 О[а2,b2] n2>n1 . . . хNKО[аK,bK] nK>nK-1 аЈхNkЈb. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках) Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д. 12.Верхний и нижний пределы последовательности. xN - огранич

1 2 3

скачать работу

Математический анализ

Отправка СМС бесплатно