Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Методы решения уравнений в странах древнего мира

димо,  была
известна, получает:
             [pic]
  Подставляя это значение у  в  первое  из  системы  уравнений  (1),  автор
приходит к квадратному уравнению:
             [pic]
  Решая это уравнение по правилу,  применяемому  нами  в  настоящее  время,
автор находит х, после чего определяет у. Итак, хотя вавилоняне и  не  имели
алгебраической символики, они решали задачи алгебраическим методом.
  Диофант, который не имел обозначений  для  многих  неизвестных,  прилагал
немало усилий для выбора неизвестного таким образом,  чтобы  свести  решение
системы к решению одного уравнения. Вот один пример из его «Арифметики».
  Задача 21. «Найти два числа, зная, что их сумма  равна  20,  а  сумма  их
квадратов — 208».
  Эту задачу мы решили бы путем составления системы уравнений:
                  [pic]

  Диофант же, выбирая в качестве  неизвестного  половину  разности  искомых
чисел, получает (в современных обозначениях):

                 [pic]

  Складывая эти уравнения, а затем вычитая одно из другого (все это Диофант
производит устно), получаем

                 x = 2 + 10; у = 10 —2.
                                   Далее,
           х2 + у2 = (г + lO)2 + (10 — г)2 == 2z2 + 200.
  Таким образом,
                              2z2 + 200 = 208,
откуда
                   z = 2; х = 2 + 10 = 12; у = 10 — 2 = 8.

                            Диофантовы уравнения.
             Задача Диофанта №80 (Из II книги его «Арифметики»)

   Найти 2 таких числа, чтобы сумма квадрата каждого из них с другим искомым
числом дала полный квадрат,
                              Решение Диофанта
  Пусть первое число (I)  будет  s.  Чтобы  квадрат  его  •при  прибавлении
второго числа дал квадрат, второе число должно быть 2s + 1, так как в  таком
случае выполняется требование задачи: квадрат первого  числа.  сложенный  со
вторым, дает
                s2 + 2s + 1, то есть полный квадрат (s + 1)2.
   Квадрат второго числа, сложенный с первым, должен также дать квадрат,  то
есть число (2s + I)2 + s, равное
   4s2 + 5s + 1 == t2
   Положим, что t = 2s — 2; тогда t2 = 4s2 — 8s + 4.  Это  выражение  должно
равняться 4s2 + 5s + 1. Итак, должно быть:
                 4s2 — 8s + 4 == 4s2 + 5s + l откуда s=[pic]
  Значит, задаче удовлетворяют числа:
  [pic].


Проверка;
           [pic]
  Почему Диофант делает предположение, что t==2s—2,  он  не  объясняет.  Во
всех своих задачах (в дошедших до нас шести книгах его их 189) он делает  то
или другое предположение, не давая никакого обоснования.
  Вообще содержание 6 книг таково:
В «Арифметике» 189 задач, каждая снабжена одним или  несколькими  решениями.
Задачи ставятся в общем виде, затем берутся конкретные значения  входящих  в
нее величин и даются решения.
  Задачи книги I в большинстве определенные. В ней имеются и такие, которые
решаются  с  помощью   систем   двух   уравнений   с   двумя   неизвестными,
эквивалентных квадратному уравнению. Для его разрешимости Диофант  выдвигает
условие, чтобы дискриминант был полным  квадратом.  Так,  задача  30—  найти
таких два числа, чтобы их разность и произведение были  заданными  числами,—
приводится к системе

                                                           х — у = а, х = b.

Диофант выдвигает  «условие  формирования»:  требуется,  чтобы  учетверенное
произведение чисел, сложенное с квадратом разности их,  было  квадратом,  т.
е. 4b + а2 = с2.
  В книге II решаются задачи, связанные  с  неопределенными  уравнениями  и
системами таких уравнений с 2, 3, 4,  5,  6  неизвестными  степени  не  выше
второй.
  Диофант   применяет   различные   приемы.   Пусть    необходимо    решить
неопределенное уравнение второй степени с двумя неизвестными f2 (х, у)  ==0.
Если  у  него  есть  рациональное  решение  (x0,  y0),  то  Диофант   вводит
подстановку
  x = x0 + t,
  y = y0 + kt,
в которой k рационально. После  этого  основное  уравнение  преобразуется  в
квадратное относительно t, у которого свободный член f2 ( x0, у0)  =  0.  Из
уравнения получается t1 ==  0  (это  значение  Диофант  отбрасывает),  t2  —
рациональное число. Тогда подстановка дает рациональные х и у.
В случае, когда задача приводилась к уравнению у2 = ax2 + bx + с, очевидно
рациональное решение x0 = О,y0=±C. Подстановка Диофанта выглядит так:
x = t,
y = kt ± c

  Другим методом при решении задач книги II Диофант пользовался, когда  они
приводили к уравнению у2 == = a2x2 + bx + с. Он делал подстановку

  x= t,

  y = at + k,
после чего х и у выражались рационально через параметр k:
[pic]
  Диофант, по существу,  применял  теорему,  состоящую  в  том,;  что  если
неопределенное уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение,  то  таких
решений будет бесчисленное множество, причем  значения  х  и  у  могут  быть
представлены в виде рациональных функций некоторого параметра»
   В книге II есть задачи, решаемые с помощью «двойного неравенства», т.  е.
системы
  ах + b = и2,
  сх + d == v2.
  Диофант рассматривает случай а = с,  но  впоследствии  пишет,  что  метод
можно применить и при  а  :  с  =  т2,  Когда  а  ==  с,  Диофант  почленным
вычитанием одного равенства из другого получает  и2  —и2  =  b  —  d.  Затем
разность b — d раскладывается на множители b — d = п1 и приравнивает и  +  v
= I, и — v = п, после чего находит
               и = (I + п)/2, v = (I - n)/2, х - (l2 + п2}/4a - {b +  d)/2a.

   Если задача сводится к системе из двух или трех уравнений второй степени,
то Диофант находит такие  рациональные  выражения  неизвестных  через  одно
неизвестное  и  параметры,  при  которых  все  уравнения,   кроме   одного,
обращаются в тождества.  Из  оставшегося  уравнения  он  выражает  основное
неизвестное через параметры, а затем находит и другие неизвестные.
   Методы, разработанные в книге  II,  Диофант  применяет  к  более  трудным
задачам книги III, связанным с системами трех,  четырех  и  большего  числа
уравнений степени не выше второй. Он, кроме того,  до  формального  решения
задач проводит исследования и находит условия, которым должны удовлетворять
параметры, чтобы решения существовали.
   В книге IV встречаются определенные и неопределенные уравнения третьей  и
более высоких степеней. Здесь дело обстоит значительно сложнее, потому что,
вообще говоря, неизвестные невозможно  выразить  как  рациональные  функции
одного параметра. Но, как и раньше, если известны одна или две рациональные
точки кубической кривой fз (х, у) == 0, то  можно  найти  и  другие  точки.
Диофант при решении задач книги IV применяет новые методы»
   Книга V содержит наиболее сложные задачи; некоторые  из  них  решаются  с
помощью уравнений третьей и четвертой степеней от трех и более неизвестных.
Есть и такие, в которых требуется разложить данное  целое  число  на  сумму
двух, трех или четырех квадратов, причем эти квадраты должны  удовлетворить
определенным неравенствам.,
При решении задач Диофант дважды рассматривает уравнение Пелля  ax2  +  1  =
у2.
  Задачи книги VI  касаются  прямоугольных  треугольников  с  рациональными
сторонами.  К  условию  х2  +  у2  ==  z2  в  них  добавляются  еще  условия
относительно площадей, периметров, сторон треугольников.
  В книге VI доказывается, что если уравнение ax2 + b == у2 имеет  хотя  бы
одно рациональное решение, то их будет бесчисленное множество.  Для  решения
задач книги VI Диофант применяет все употребляемые им способы.
  Кстати, в одном из древних рукописных  сборников  задач  в  стихах  жизнь
Диофанта описывается в виде следующей алгебраиче-юй загадки,  представляющей
надгробную надпись на его могиле

   Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей—и камень
   Мудрым искусством его скажет усопшего век.
   Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
   И половину шестой встретил с пушком на щеках.
   Только минула седьмая, с подругою он обручился.
   С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец;
   Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
   Отнят он был у отца ранней могилой своей.
   Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
   Тут и увидел предел жизни печальной своей.

   Задача-загадка сводится к составлению и решению уравнения:

   [pic] откуда х = 84 = вот сколько лет жил Диофант.

                    Неопределённое уравнение x2 + y2 = z2
  Такое неопределённое уравнение исследовали  пиффагорийцы,  целые  решения
которого  поэтому называют «пифагоровыми  тройками»,  они  нашли  бесконечно
много таких троек, имеющих вид:
  [pic]

                            Кубические уравнения
  Более  систематическое  исследование  задач,   эквивалентных   кубическим
уравнениям, относится только к эпохе эллинизма. Архимед в сочинении «О  шаре
и цилиндре»  (книга  II,  предложение  4)  свел  задачу  о  рассечении  шара
плоскостью на два сегмента, объемы которых имели бы заданное отношение  т  :
п (т > п), к нахождению высоты х большего сегмента из пропорции
                                                                       [pic]
                                                                         (1)


где а — радиус шара.
  Архимед обобщает задачу: рассечь заданный отрезок а на две части х и  а—х
так, чтобы
          (а — х) : с = S : х2,                                (2)

где с и S — заданные отрезок и площадь.
  Заметив, что при  такой  общей  постановке  задача  не  всегда  разрешима
(имеются  в  виду  только  положительные  действительные  решения),  Архимед
приступает к ее исследованию с тем, чтобы наложить ограничения на с и S.  Он
говорит,   что   изложит   полное   решение   задачи   «в   конце»,   однако
соответствующее место не сохранилось.  Жившие  на  столе
123
скачать работу

Методы решения уравнений в странах древнего мира

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ