Методы решения уравнений в странах древнего мира
тие позже Архимеда
греческие геометры Диокл и Дионисодор уже не знали его. Они предложили
собственные, гораздо более сложные решения, но никто из них не сумел
провести анализ общего случая.
Только в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий нашел утраченное
место. Архимед решает задачу с помощью двух конических сечений:
Параболы
[pic]
(3)
и гиперболы
[pic]
(4)
(здесь положено S = pb). Оба уравнения легко получить из пропорции (2).
Для выяснения необходимых условий Архимед переходит от пропорции (2) к
кубическому уравнению
x2(a-x) =
Sc (5)
которое он выражает словесно как соотношение между объемами. Ясно, что
уравнение (5) может иметь положительные корни, если
[pic]
Итак, проблема сводится к нахождению экстремума х2 (а — х).
Оставим пока в стороне вопрос о методе экстремумов Архимеда, мы вернемся
к этому, когда будем говорить об инфинитезимальных методах древних. Скажем
только, что Архимед полностью исследовал условия существования
положительных вещественных корней уравнения (5), а именно:
1) если Sc < 43/27, то на участке (0, а) имеются два таких корня;
2) если Sc = 4aз/27, то имеется один корень (как сказали бы мы,—
двукратный);
3) если Sc > 4aз/27, то корня нет.
Здесь 4а3/27 есть максимум х2 (а — х), достигаемый при х = 2а/3. В конце
письма, предпосланного книге «О коноидах и сфероидах» (греки называли
сфероидами эллипсоиды вращения, прямоугольными коноидами — параболоиды
вращения, а тупоугольными коноидами — полости двуполостных гиперболоидов
вращения), Архимед пишет, что с помощью доказанных в книге теорем можно
решить ряд задач, как, например: от данного сфероида или коноида отсечь
сегмент плоскостью, проведенной параллельно заданной, так, чтобы отсеченный
сегмент был равен данному конусу, цилиндру или шару. Перечисленные задачи,
так же как и задачи о делении шара, сводятся к кубическим уравнениям,
причем в случае тупоугольного коноида уравнение будет иметь вид
x2(a + x)=Sc
Из текста Архимеда можно заключить, что он проанализировал и решил это
уравнение. Таким образом, Архимед рассмотрел кубические уравнения вида х3 +
ax + b = 0 при различных значениях a и b и дал метод их решения. Однако
исследование кубических уравнений оставалось для греков трудной задачей, с
которой, в ее общем виде никто, кроме Архимеда, не мог справиться. Решение
отдельных задач, эквивалентных кубическим уравнениям, греческие математики
получали с помощью нового геометрического аппарата конических сечений. Этот
метод впоследствии восприняли математики стран ислама, которые сделали
попытку провести полный анализ всех уравнений третьей степени.
Но еще до этого, и притом греческими математиками, был сделан новый
решительный шаг в развитии алгебры: геометрическая оболочка была сброшена,
и началось построение буквенной алгебры на основе арифметики. Это произошло
в первые века нашей эры.
Литература:
«История математики в древности» Э. Кольман.
«Решение уравнений в целых числах» Гельфонд.
«В мире уравнений» В.А.Никифоровский.
«История математики в школе» Г.И.Глейзер.
«Рассказы о старой и новой алгебре» И.Депман.
«Пифагор: рассказы о математике» Чистаков.
«Краткий очерк истории математики» Стройк Д.Я.
«Очерки по истории математики» Болгарский Б.В.
«История математики» (энциклопедия) под редакцией Юшкевича.
«Энциклопедический словарь юного математика» под редакцией Гнеденк
| |  скачать работу |
Методы решения уравнений в странах древнего мира |
