Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Методы решения уравнений в странах древнего мира



 Другие рефераты
Методы решения некорректно поставленных задач Методы решения систем линейных неравенств Методы численного моделирования МДП-структур Механические колебания в дифференциальных уравнениях

История алгебры  уходит  своими  корнями  в  древние  времена.  Задачи,
связанные  с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и  Вавилоне.  Теория
уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.
       В Древнем Египте и Вавилоне использовался  метод  ложного  положения
(«фальфивое правило»)
     Уравнение первой степени с одним неизвестным можно  привести  всегда  к
виду ах  +  Ь  ==  с,  в  котором  а,  Ь,  с  —  целые  числа.  По  правилам
арифметических действий ах = с — b,
[pic]
  Если Ь > с, то с  —  b  число  отрицательное.  Отрицательные  числа  были
египтянам и многим другим более поздним народам  неизвестны  (равноправно  с
положительными  числами  их  стали  употреблять  в   математике   только   в
семнадцатом веке).
  Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями  первой  степени,
был изобретен метод ложного положения.
  В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой  из  них
позволяет понять, как рассуждал автор.
  Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до
недавнего прошлого читали «хау»  и  переводили  словом  «куча»  («куча»  или
«неизвестное количество»  единиц).  Теперь  читают  немного  менее  неточно:
«ага».
  bqt задача № 24 сборника Ахмеса:
  «Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается:  «дают  в  сумме»)  19.  Найти
кучу».
  Запись задачи нашими знаками:
               [pic]
  Решение Ахмеса может быть  представлено  в  наших  символах  в  следующих
четырех столбцах:
[pic]
  Во многих задачах в начале или в  конце  встречаются  слова:  «Делай  как
делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
  Смысл решения Ахмеса легко понять.
  Делается предположение, что. куча есть 7; тогда [pic] ее  часть  есть  1.
Это записано в первом столбце.
     Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и  ее  [pic]
часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения  дает  16.  Автор,  в  уме
очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение  нельзя,  так  как
тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом  две  точки
для обозначения удвоения первоначального предположения  и  отмечает  значком
(у нас — звездочкой) результат; для  получения  в  сумме  19  первоначальное
предположение надо умножить -на 2  с  некоторым  добавлением,  так  как  для
получения точного результата, 19, не  хватает  еще  19—16=3.  Ахмес  находит
[pic] от 8, получает  4.  Так  как  это  больше  нехватки  3,  то  на  [pic]
предположение умножить нельзя. Но [pic] от 8 есть  2,  [pic]  от  восьми  1.
Ахмес видит, что [pic] и [pic] первоначального результата дают  точно  те  3
единицы,  которых  не  хватало.  Отметив  [pic]  и  [pic]  значками,   Ахмес
убедился, что первоначальное предположение для кучи (7)  надо  помножить  на
[pic]
  Умножение числа 7 на смешанное  число  [pic]  Ахмес  заменяет  умножением
смешанного числа [pic] на  7.  В  третьем  столбце  выписаны:   [pic]  часть
искомой кучи есть [pic], удвоенное это число: [pic] и  учетверенное:  [pic].
Сумма   этих   трех   чисел,   равная   числу   [pic],   есть   произведение
первоначального предположения 7 на [pic].
  Итак, куча равна [pic].
  В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное  значение
для кучи [pic] и его [pic] части [pic]. В сумме  получается  19,  и  решение
заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо».
  Способ решения, примененный Ахмесом, называется  методом  одного  ложного
положения. При помощи этого метода решаются уравнения  вида  ах  ==  b.  Его
применяли как египтяне, так и вавилоняне.
  У разных народов применялся метод двух  ложных  положений.  Арабами  этот
метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в  учебники
европейских народов,  в  том  числе  в  «Арифметику»  Магницкого.  Магницкий
называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о  части  своей  книги,
излагающей этот метод:
                        Зело бо хитра есть сия часть,
                                                    Яко можеши ею все
  класть (вычислить. — И. Д.)
                          Не токмо что есть во гражданстве,
                          Но и высших наук в пространстве,
                                                     Яже числятся в сфере
  неба,
                         Якоже мудрым есть потреба.

     Содержание стихов Магницкого можно  вкратце  передать  так:  эта  часть
арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не  только  то,  что
понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие»,  которые
встают перед «мудрыми».
  Магницкий пользуется «фальшивым правилом»  в  форме,  какую  ему  придали
арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».

                                       Квадратные   уравнения   в   Древнем
     Вавилоне

  Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени  еще
в  древности  была  вызвана  потребностью   решать   задачи,   связанные   с
нахождением площадей земельных участков  и  с  земляными  работами  военного
характера, а также с развитием астрономии  и  самой  математики.  Квадратные
уравнения умели  решать  около  2000  лет  до  н.  э.  вавилоняне.  Применяя
современную алгебраическую запись,  можно  сказать,  что  в  их  клинописных
текстах встречаются, кроме неполных, и такие,  например,  полные  квадратные
уравнения:
             [pic]
  Правило  решения  этих  уравнений,  изложенное  в  вавилонских   текстах,
совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом  дошли
вавилоняне до этого правила. Почти все  найденные  до  сих  пор  клинописные
тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов,  без
указаний относительно того, каким образом они были найдены.
  Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в  клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного  числа  и  общие  методы  решения
квадратных уравнений.

           . Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,

  В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако  в
ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями  и
решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
  При составлении уравнений Диофант для упрощения  решения  умело  выбирает
неизвестные.
  Вот, к примеру, одна из его задач.
   «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
  Диофант рассуждает следующим образом: из  условия  задачи  вытекает,  что
искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то  их  произведение
равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше  половины
их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между  ними
2х. Отсюда уравнение
                 [pic]
или же
[pic]

 Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2  для
 Диофанта  не  существует,  так  как  греческая  математика   знала   только
 положительные числа.
  Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых
чисел, то мы придем к решению уравнения
[pic]
  Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность  искомых  чисел,
Диофант упрощает решение; ему удается  свести  задачу  к  решению  неполного
квадратного уравнения (1).
                        Квадратные уравнения в Индии.
  Задачи  на  уравнения  встречаются   уже   в   астрономическом   трактате
«Ариабхаттаим», составленном в 449 г.  индийским  математиком  и  астрономом
Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.
  В Алгебраическом трактате  ал-Хорезми  даётся  классификация  линейных  и
квадратных уравнений.
  Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том
числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).
                                               Формула  решений  квадратного
уравнения.
     Греческий математик Герон (I или II век  нашего  летоисчисления)  вывел
формулу для решения квадратного равнения  ax2  +  bx  =  c  умножением  всех
членов на а и
прибавлением к обеим половинам уравнения [pic] :
       [pic]
  В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в
школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт:
       [pic]
     Индийские математики часто давали задачи в стихах.
                              Задача о лотосе.
                           Над озером тихим, с полмеры над водой,
                           Был виден лотоса цвет.
                           Он рос одиноко, и ветер волной
                           Нагнул его в сторону – и уж нет
                           Цветка над водой.
                           Нашёл его глаз рыбака
                           В двух мерах от места, где рос.
                           Сколько озера здесь вода глубока?
                           Тебе предложу я вопрос.

  Ответ:[pic]
   Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй
                           степени и одно линейное
  В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячелетиях до  н.  э.,
содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений,  в
которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них.
. «Площади двух своих квадратов я  сложил:  [pic].Сторона  второго  квадрата
равна [pic] стороны первого и еще 5».
  Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:
              [pic]
Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении  у  в
квадрат и  согласно  формуле  квадрата  суммы,  которая  ему,  ви
123
скачать работу


 Другие рефераты
Общевоинские уставы, их основные требования и содержание
Онтологиум христианской (православной) нравственности сквозь призму богословия
Мәдени мұралардың түркілік тарихты зерттеудегі үлесі
Пути повышения эффективности обучения решению задач


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ