Методы решения уравнений в странах древнего мира
Другие рефераты
История алгебры уходит своими корнями в древние времена. Задачи,
связанные с уравнениями, решались ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Теория
уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов.
В Древнем Египте и Вавилоне использовался метод ложного положения
(«фальфивое правило»)
Уравнение первой степени с одним неизвестным можно привести всегда к
виду ах + Ь == с, в котором а, Ь, с — целые числа. По правилам
арифметических действий ах = с — b,
[pic]
Если Ь > с, то с — b число отрицательное. Отрицательные числа были
египтянам и многим другим более поздним народам неизвестны (равноправно с
положительными числами их стали употреблять в математике только в
семнадцатом веке).
Для решения задач, которые мы теперь решаем уравнениями первой степени,
был изобретен метод ложного положения.
В папирусе Ахмеса 15 задач решается этим методом. Решение первой из них
позволяет понять, как рассуждал автор.
Египтяне имели особый знак для обозначения неизвестного числа, который до
недавнего прошлого читали «хау» и переводили словом «куча» («куча» или
«неизвестное количество» единиц). Теперь читают немного менее неточно:
«ага».
bqt задача № 24 сборника Ахмеса:
«Куча. Ее седьмая часть ('подразумевается: «дают в сумме») 19. Найти
кучу».
Запись задачи нашими знаками:
[pic]
Решение Ахмеса может быть представлено в наших символах в следующих
четырех столбцах:
[pic]
Во многих задачах в начале или в конце встречаются слова: «Делай как
делается», другими словами: «Делай, как люди делают».
Смысл решения Ахмеса легко понять.
Делается предположение, что. куча есть 7; тогда [pic] ее часть есть 1.
Это записано в первом столбце.
Во втором столбце записано, что при предположении х=7 куча и ее [pic]
часть дали бы 8 вместо 19. Удвоение предположения дает 16. Автор, в уме
очевидно, прикидывает, что дальше удваивать предположение нельзя, так как
тогда получится больше 19. Он записывает 16, ставит перед числом две точки
для обозначения удвоения первоначального предположения и отмечает значком
(у нас — звездочкой) результат; для получения в сумме 19 первоначальное
предположение надо умножить -на 2 с некоторым добавлением, так как для
получения точного результата, 19, не хватает еще 19—16=3. Ахмес находит
[pic] от 8, получает 4. Так как это больше нехватки 3, то на [pic]
предположение умножить нельзя. Но [pic] от 8 есть 2, [pic] от восьми 1.
Ахмес видит, что [pic] и [pic] первоначального результата дают точно те 3
единицы, которых не хватало. Отметив [pic] и [pic] значками, Ахмес
убедился, что первоначальное предположение для кучи (7) надо помножить на
[pic]
Умножение числа 7 на смешанное число [pic] Ахмес заменяет умножением
смешанного числа [pic] на 7. В третьем столбце выписаны: [pic] часть
искомой кучи есть [pic], удвоенное это число: [pic] и учетверенное: [pic].
Сумма этих трех чисел, равная числу [pic], есть произведение
первоначального предположения 7 на [pic].
Итак, куча равна [pic].
В последнем столбце Ахмес делает проверку, складывая полученное значение
для кучи [pic] и его [pic] части [pic]. В сумме получается 19, и решение
заканчивается обычным для автора заключением: «Будет хорошо».
Способ решения, примененный Ахмесом, называется методом одного ложного
положения. При помощи этого метода решаются уравнения вида ах == b. Его
применяли как египтяне, так и вавилоняне.
У разных народов применялся метод двух ложных положений. Арабами этот
метод был механизирован и получил ту форму, в которой он перешел в учебники
европейских народов, в том числе в «Арифметику» Магницкого. Магницкий
называет способ решения «фальшивым правилом» и пишет о части своей книги,
излагающей этот метод:
Зело бо хитра есть сия часть,
Яко можеши ею все
класть (вычислить. — И. Д.)
Не токмо что есть во гражданстве,
Но и высших наук в пространстве,
Яже числятся в сфере
неба,
Якоже мудрым есть потреба.
Содержание стихов Магницкого можно вкратце передать так: эта часть
арифметики весьма хитрая. При помощи ее можно вычислить не только то, что
понадобится в житейской практике, но она решает и вопросы «высшие», которые
встают перед «мудрыми».
Магницкий пользуется «фальшивым правилом» в форме, какую ему придали
арабы, называя его «арифметикой двух ошибок» или «методой весов».
Квадратные уравнения в Древнем
Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще
в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с
нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного
характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные
уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя
современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных
текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные
уравнения:
[pic]
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах,
совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли
вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные
тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без
указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, • в клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения
квадратных уравнений.
. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения ,
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в
ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и
решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает
неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что
искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение
равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины
их суммы, т. е. 10 + х, другое же меньше, т. е. 10 — х. Разность между ними
2х. Отсюда уравнение
[pic]
или же
[pic]
Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = —2 для
Диофанта не существует, так как греческая математика знала только
положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых
чисел, то мы придем к решению уравнения
[pic]
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел,
Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного
квадратного уравнения (1).
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на уравнения встречаются уже в астрономическом трактате
«Ариабхаттаим», составленном в 449 г. индийским математиком и астрономом
Арибхаттой. Но это уже раннее средневековье.
В Алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и
квадратных уравнений.
Индий учёные знали решения неопределённых уравнений в целых числах (в том
числе и в отрицательных, чего сам Диофант избегал).
Формула решений квадратного
уравнения.
Греческий математик Герон (I или II век нашего летоисчисления) вывел
формулу для решения квадратного равнения ax2 + bx = c умножением всех
членов на а и
прибавлением к обеим половинам уравнения [pic] :
[pic]
В индии пришли к более простому способу вывода, который встречается в
школьных учебниках: они умножали на 4a и к обеим половинам по b2. Это даёт:
[pic]
Индийские математики часто давали задачи в стихах.
Задача о лотосе.
Над озером тихим, с полмеры над водой,
Был виден лотоса цвет.
Он рос одиноко, и ветер волной
Нагнул его в сторону – и уж нет
Цветка над водой.
Нашёл его глаз рыбака
В двух мерах от места, где рос.
Сколько озера здесь вода глубока?
Тебе предложу я вопрос.
Ответ:[pic]
Из истории решения системы уравнений, содержащей одно уравнение второй
степени и одно линейное
В древневавилонских текстах, написанных в III—II тысячелетиях до н. э.,
содержится немало задач, решаемых с помощью составления систем уравнений, в
которые входят и уравнения второй степени. Вот одна из них.
. «Площади двух своих квадратов я сложил: [pic].Сторона второго квадрата
равна [pic] стороны первого и еще 5».
Соответствующая система уравнений в современной записи имеет вид:
[pic]
Для решения системы (1) вавилонский автор возводит во втором уравнении у в
квадрат и согласно формуле квадрата суммы, которая ему, ви
| |  скачать работу |
Другие рефераты
| 
