Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики
Для [pic] и [pic] соответственно будем иметь две системы:
[pic] [pic] Вторая система не имеет действительных корней,
первая имеет два решения: (1;2); (2;1).
Ответ: (1;2); (2;1).
7. Решить неравенство:
[pic]
Решение.
[pic]
Ответ:[pic].
8. Решить неравенство:
[pic]
Решение.
[pic]
Ответ:[pic].
Стандартная схема решения текстовых задач состоит из трех этапов:
1. Выбор неизвестных.
2. Составление уравнений (неравенств).
3. Нахождение нужного неизвестного или нужной комбинации неизвестных.
Рассмотрим несколько примеров.
9. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот.
Катер спустился вниз по течению на 96км, затем повернулся обратно и
вернулся в А через 14ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость
течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на
расстоянии 24км от А.
Решение.
I способ (алгебраический).
1) Пусть [pic] (км/ч) скорость катера в стоячей воде, у (км/ч) – скорость
течения.
2) Составим уравнения. Поскольку скорость катера при движении по течению
[pic], а против течения [pic], то на основании того, что сказано во второй
фразе условия, получим:[pic] или [pic]
Вторая часть последней фразы дает нам [pic] (плот прошел до встречи
24км, катер 96 – 24 =72км на обратном пути).
Таким образом, имеем систему уравнений
[pic]
Подставляем [pic] в I уравнение системы
[pic]
Ответ: скорость катера в стоячей воде 14км/ч, скорость течения
2км/ч.
II способ (арифметический).
Итак, если катер удаляется от плота или приближается к нему, то его
скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меняется
лишь направление этой скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за
то же время, что и приближается к нему, т.е. путь в 96км пройден за то же
время, что и путь 72км (против течения).
96 : 72 = 4 : 3- отношение скорости катера по течению к скорости катера
против течения.
Весь путь занял 14ч. Разделим число 14 на части пропорционально 3:4 :
[pic] катер шел по течению;
[pic] катер шел против течения.
96 : 6 =16 (км/ч) – скорость по течению;
96 : 8 =12 (км/ч) – скорость против течения;
[pic]- скорость течения;
[pic]- собственная скорость катера.
Ответ: 2км/ч; 14км/ч.
Как видно из решения задачи 9 «арифметический» способ решения
зачастую удобнее, так как для него характерна достаточность знаний и
умений, которыми располагает учащийся, окончивший начальную школу плюс,
конечно развитый логический аппарат.
10. Лошадь съедает копну сена за 2 дня, корова может съесть такую же копну
за 3 суток, овца за 6 суток. За какое время они съедят эту копну вместе?
Решение.
Задача может даваться с 6 класса. Итак, если лошадь съедает копну
сена за 2 дня, то за один день она съест [pic]часть копны, аналогично
корова [pic]часть копны, а овца [pic]часть копны.
За один день вместе они съедают [pic] копны сена, т.е. всю.
Ответ: 1 день.
Функции [pic]
Наибольшее значение [pic] при [pic]. Возвращаясь к [pic], получим,
что [pic] при [pic]
Ответ: наибольшее значение [pic].
Почти вся теория квадратного трехчлена основывается на приеме, называемом
«выделение полного квадрата»:
[pic]
[pic] - дискриминант квадратного уравнения.
Если [pic], то уравнение имеет два корня,
[pic],то уравнение имеет1 корень (2 совпадающих);
[pic], уравнение не имеет действительных корней.
11. Доказать, что при любом [pic]уравнение
[pic] имеет решения.
Процесс нахождения дискриминанта и доказательства, что он положителен
достаточно трудоемкий, поэтому попробуем другой метод решения.
Пусть [pic].
[pic] при любом [pic].
Т.о. уравнение всегда имеет решение, причем если [pic], то уравнение
имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий
неравенству [pic].
12. Пусть [pic] и [pic] корни уравнения [pic]. Выразить [pic] через [pic] и
[pic].
Решение.
Необходимо выразить [pic] через [pic] и [pic]:
[pic]
По теореме Виета [pic]
тогда [pic]
Ответ: [pic].
13. Определить все значения параметра [pic], при которых уравнение [pic]
имеет 1 корень.
Решение.
В условие не сказано, что рассматривается квадратное уравнение,
поэтому рассмотрим случай [pic]
Остальные значения параметра получим из уравнения [pic].
[pic]
Ответ: [pic]
Простейший прием нахождения наибольших значений, основанный на
свойствах квадратичных функций состоит в том, что исследуемая функция при
помощи преобразований или замены переменной приводится к квадратичной,
после чего выделяется полный квадрат.
14.Найти наибольшее значение функции
[pic]
Решение.
Положим [pic], тогда [pic] Отсюда [pic] Итак, после замены получим,
что надо найти наибольшее значение
15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции [pic].
Решение.
Рассмотрим данное неравенство как уравнение с неизвестным [pic] и
параметром [pic].
После преобразований получим
[pic] Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно,
чтобы
[pic]
Отсюда наименьшее значение функции [pic], наибольшее [pic].
Ответ:[pic]
[pic]
Как видно из решений последних задач на нахождение наибольшего и
наименьшего значений иногда удобнее рассматривать функцию [pic] как
уравнение с неизвестным [pic], в котором необходимо установить при каких
[pic] это уравнение имеет решение. Рассмотрим еще один пример, в котором
работает эта идея с небольшими вариациями.
16. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения [pic], если
[pic].
Решение.
Положим [pic]. Подставим полученное выражение в (1):
[pic]
Ответ: наибольшее значение выражения [pic] равно [pic][pic];
наименьшее - [pic].
Рассмотрим один из самых универсальных методов доказательства –
методом математической индукции.
17. Доказать, что при любом натуральном [pic] число [pic][pic]делится на 7.
Решение.
Обозначим [pic].
1) При [pic] [pic]- делится на 7.
2) Пусть [pic] делится на 7.
Имеем [pic]
Последнее число делится на 7, т.к. представляет собой разность двух целых
чисел, которые делятся на 7, ч.т.д.
17. Доказать тождество:
[pic]
Решение.
1)При [pic] [pic] равенство выполняется.
2)Предположим, что равенство выполняется при [pic] [pic]
При [pic] имеем:
[pic]
ч.т.д.
18. Выполнить следующие действия:
а) [pic]; б) [pic]; в)[pic]
Решение.
а) [pic]
б)
[pic]
в)
[pic]
Ответ: а)[pic]; б)[pic] в)[pic]
19. Решить уравнения:
а) [pic];
б) [pic]
Решение.
а)
[pic]
б)
[pic]
Чтобы найти [pic] не будем переходить к тригонометрической форме (но
и этот путь верный). Итак, надо найти числа [pic] и [pic] такие что, [pic]
Достаточно найти одно решение [pic]
Т.о.
[pic]
Ответ: а)[pic] б)[pic].
2.3. Индивидуальная работа учащихся.
Поскольку внеклассная индивидуализация осуществляется в основном в
форме самостоятельной работы, следует, естественно, учитывать требования,
исходящие из методики самостоятельной работы.
Самостоятельная работа учащихся – это такой способ учебной работы, где
1) учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения;
2) работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его
руководством; 3) выполнение работы требует от учащегося умственного
напряжения.
С точки зрения организационных основ самостоятельную работу можно
разделить на: 1) самостоятельную работу в школе и 2) самостоятельную
работу, выполняемую за пределами школы, в т. ч. и дома. Самостоятельная
работа в школе может проводиться в рамках урока, зачета, семинара,
практического занятия и т. д. На основе другого логического членения можно
выделить еще два вида самостоятельной работы: 1) индивидуальную и 2)
групповую.
В ходе самостоятельной работы каждый ученик получает конкретное
задание, которое предполагает и выполнение определенной письменной работы.
В этом случае можно проверить степень участия ученика в выполнении этого
задания. Самостоятельная работа позволяет работать и в индивидуальном темпе
и стиле.
Учебные задания для самостоятельной работы.
Учебные задания для самостоятельной работы весьма разнообразны. Их
можно в основном делить на следующих 4 логических основаниях: 1) по методу
самостоятельной работы учащихся (например, наблюдения, упражнения, работа с
текстом учебника); 2) по звеньям учебного процесса (задания на восприятие,
систематизацию, закрепление и повторение учебного материала); 3) по
характеру познавательной деятельности учащегося (репродуцирующие и
творческие задания); 4) по характеру руководства (подробное или менее
подробное инструктирование).
Выделяют 3 основных вида основной работы:
А. Учебные задания, опосредующие учебную информацию. В учебном
| |  скачать работу |
Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучением математики |
