Моделирование процессов переработки пластмасс
= О, получим:
[pic] (2.2)
Уравнение (2.2) представляет собой уравнение теплопроводности для
изотропного твердого тела.
Если внутри изотропного тела имеется источник тепла, то уравнение
(2.2) необходимо дополнить членом, учитывающим тепловыделение
[pic] (2.3)
где [pic]— коэффициент температуропроводности [замена [pic] на [pic] в
уравнении (2.3) возможна для несжимаемых твердых тел];
[pic] — оператор Лапласа в прямоугольной системе координат
[pic] (2.4)
G — интенсивность внутренних тепловыделений, отнесенная к единице
объема.
Примерами внутренних тепловыделений являются поглощения инфракрасного
излучения в полупрозрачных средах, экзотермический эффект химических
реакций и т. п.
2.1.2. Теплопередача в стационарном режиме.
Теплопередачу в непрерывно действующих нагревательных системах
перерабатывающего оборудования можно рассматривать как независящую от
времени. Следовательно, распределение температур носит установившийся
характер и определяется интегрированием дифференциального уравнения (2.5)
[pic]
(2.5)
2.1.3. Нестационарная теплопроводность.
В большинстве случаев в реальных процессах переработки приходится
иметь дело с нестационарным режимом теплопроводности, когда полимер
подвергают нагреву или охлаждению (например, охлаждение в форме отлитого
изделия). Теоретические исследования процесса нестационарной
теплопроводности представляют собой обширный раздел математической физики.
Решения, получаемые в результате интегрирования уравнения (2.5),
представляют собой функции времени и пространственных координат,
удовлетворяющие начальным и граничным условиям. Различают четыре рода
граничных условий Условия первого рода: задано распределение температур на
поверхности, которое может либо быть постоянным, либо зависеть от времени;
в простейшем случае, если положение границ определяется одним числом
(например, расстоянием L), такие граничные условия математически
определяются выражением вида (2.6):
[pic] (2.6)
Условия второго рода: задана плотность теплового потока для каждой
точки поверхности тела как функция времени:
[pic]
(2.7)
Условия третьего рода: задан коэффициент теплообмена, а на границе и
температура контактирующей с граничной поверхностью среды:
[pic] (2.8)
Условия четвертого рода: соответствуют теплообмену тела с окружающей
средой по закону теплопроводности или теплообмену системы тел, находящихся
в тепловом контакте (температура соприкасающихся поверхностей одинакова):
[pic] (2.9)
[pic] (2.10)
Аналитическая теория нестационарной теплопроводности располагает
большим набором решений одномерных задач, к которым принято сводить все
многообразие задач, встречающихся в инженерной практике. В настоящее время
получены аналитические решения для теплопроводности в плоской стенке, в
цилиндре, в корпусе и в сфере.
2.2. Нагревание и охлаждение тел простой геометрической формы
2.2.1. Плоская неограниченная пластина.
Под неограниченной обычно понимают такую пластину, ширина и длина
которой во много раз превышают толщину. Таким образом, неограниченная
пластина (рис. 2.1) представляет собой тело, ограниченное двумя
параллельными плоскостями. Изменение температуры происходит только в одном
направлении (х), в двух других направлениях (у и z) температура неизменна.
[pic]
Рис. 2.1. Положение координат при исследовании теплового процесса в
неограниченной пластине.
Следовательно, задача является одномерной. Для одномерного теплового
потока без внутреннего источника тепла уравнение теплопроводности сводится
к виду: [pic]
(2.11)
Обычно используют граничные условия третьего рода:
[pic] (2.12)
Рассмотрим случай, когда в начальный момент температура пластины во
всех точках была одинакова и равна То. Это начальное условие записывается в
виде:
[pic]
(2.13)
Решение, полученное методом преобразования Лапласа, имеет вид:
[pic] (2.14)
Здесь [pic]— безразмерная температура;
[pic]— критерий Фурье (критерий гомохронности для процессов чистой
теплопроводности );
[pic]- безразмерная координата;
[pic]— функция ошибок, где [pic];
[pic]
Если коэффициент теплоотдачи очень велик (это эквивалентно заданию
постоянной температуры на стенке), уравнение (2.14) упрощается:
[pic] (2.15)
Для прикидочных расчетов удобно пользоваться номограммой зависимости (
от [pic] представленной на рис.2.2
[pic]
Рис.2.2 Номограмма для определения безразмеоной температуры в сечении
неограниченной пластины при [pic]
Если значение критерия Фурье велико, но не равно бесконечности,
решение имеет вид:
[pic] (2.16)
Здесь [pic] (2.17)
где [pic]— корни характеристического уравнения
[pic]
(2.18)
где Bi = aw/( — критерий Био.
Уравнение (2.18) имеет бесчисленное множество действительных
положительных корней. Первые пять корней для различных значений критерия
Био были вычислены Карслоу и Егером. Обычно на практике пользуются
номограммами. Номограмма позволяющая определить безразмерную температуру
при различных значениях критерях Био приведена на рис.2.3
[pic]
Рис. 2.3 Номограмма для определения безразмерной температуры поверхности
неограниченной пластины.
Аналогичная номограмма, предназначенная для определения температуры в
центре пластины, приведена на рис.2.4.
[pic]
Рис. 2.4 Номограмма для определения безразмерной температуры в
середине неограниченной пластины
2.2.2 Неограниченный цилиндр.
Рассмотрим неограниченный цилиндр радиуса R, температура поверхности
которого остается неизменной на протяжении всего процесса теплообмена.
Радиальное распределение температур в начальный момент задано в виде
некоторой функции Т(r). Необходимо найти распределение температур
определения в цилиндре в любой момент времени. Задачи такого типа
встречаются при расчете процессов охлаждения полимерного волокна,
затвердевания литников литьевых форм и т. п.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для цилиндра
имеет вид: [pic] (2.19)
Краевые условия:
[pic]
Решение, полученное методом разделения переменных, в безразмерной
форме, имеет вид:
[pic] (2.20)
Для оценки изменения теплосодержания цилиндра определим среднюю
температуру как:
[pic] (2.21)
Тогда безразмерная средняя температура определится соотношением:
[pic] (2.22)
где [pic]; [pic]- корни функции Бесселя первого рода нулевого порядка
определяемые выражением:
[pic] (2.23)
Таким образом, уменьшение средней температуры описывается простым
экспоненциальным законом. Для удобства прикидочных расчетов на рис. IV. 10
приведена номограмма зависимости между ( и Fo.
[pic]
Рис. 2.5 Номограмма для определения зависимости между безразмерной
средней избыточной температурой и критерием Фурье в случае неограниченного
цилиндра.
2.3. Теплопроводность в процессах, сопровождающихся изменением
физического состояния
Анализируя процессы переработки полимеров, часто приходится
встречаться с задачей о нагреве или охлаждении полимера, сопровождающемся
изменением физического состояния (плавлением или затвердением).
Теоретическое рассмотрение задач такого типа впервые выполнено Нейманном.
Мы остановимся только на одном, наиболее простом случае, в котором для
упрощения теплофизические характеристики расплава и твердого полимера будем
считать одинаковыми. Пусть скрытая теплота плавления равна ?, а температура
плавления Тп. Обозначим координату поверхности раздела между твердой и
жидкой фазами через Х(t). Тогда одно из граничных условий которое должно
удовлетворяться на этой поверхности, запишется в виде:
Ts = Tm = Tn при X=X(t)
(2.24)
Индекс s указывает, что соответствующая величина относится к твердой
фазе (например, ?s — плотность твердой фазы). Соответственно индекс m
указывает, что величина относится к жидкой фазе.
| | скачать работу |
Моделирование процессов переработки пластмасс |