Моделирование процессов переработки пластмасс
аемой энергии максимальна вдоль нормали к
поверхности и равна нулю в тангенциальном направлении. Можно учесть
взаимное расположение излучателя и облучаемого тела введением коэффициента
видимости, учитывающего долю излучаемой энергии, которая попадает на
облучаемое тело.
Допустим, что лучистая энергия, излучаемая от черной поверхности 1 на
черную поверхность 2, равна E1A1F12 (A1 — площадь излучателя, F12 — доля
энергии, попадающая на поверхность 2). Очевидно, что
A1F12 = A2F21
(2.45)
Поэтому количество тепла Q12, переданное при лучистом теплообмене от
тела 1 к телу 2, равно:
Q12 = A1F12(E1-E2)
(2.46)
Воспользуемся законом Стефана — Больцмана и получим:
[pic] (2.47)
Наконец, если T2/T1 << 1 то выражение (2.47) сводится к виду:
[pic] (2.48)
Для неабсолютно черных тел расчет осложняется наличием доли
многократно отраженного излучения. В случае двух бесконечных параллельных
пластин общее количество тепла, переданного с единицы поверхности,
выражается формулой:
[pic] (2.49)
где F? — коэффициент излучения, равный:
[pic] (2.50)
Коэффициент теплопередачи h определится из выражения, аналогичного по
форме уравнению Ньютона:
[pic]
(2.51)
Реальные полимеры и их расплавы плохо пропускают инфракрасное
излучение. Поэтому падающая на них энергия превращается в тепло
непосредственно на их поверхности. Некоторое количество выделяющегося тепла
сразу же теряется на потери в виде собственного излучения и путем
конвекции.
Поглощаемое тепло распространяется внутрь за счет процессов
теплопроводности. Поэтому итоговое распределение температур в теле,
нагреваемом лучистой энергией, зависит не только от мощности потока
лучистой энергии, но также и от теплопроводности и конвективных потерь.
3. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОЦЕССА.
3.1. Специфика построения математических моделей описывающих
термодинамические процессы
Разработанные методы анализа термодинамики процессов переработки
полимеров позволяют устанавливать связь между основными технологическими
параметрами (давление, плотность, температура) с достаточно высокой
степенью точности. В настоящее время разработан весьма надежный
математический аппарат, позволивший обобщить огромный экспериментальный
материал.
Математические модели процессов теплопередачи базируются на
математическом аппарате, разработанном в классических исследованиях
теплопроводности в твердых телах. Общим недостатком известных решений
является допущение о независимости теплофизических характеристик от
температуры. Хорошо известно, что все термодинамические функции и
теплофизические характеристики полимеров существенно зависят от температуры
и давления. Поэтому при построении моделей реальных процессов следует
обращать особое внимание на правильный выбор средних значений
соответствующих характеристик.
3.2. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.
Для решения задач связанных с нахождением температурного поля
необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. Под
дифференциальным уравнением понимают математическую зависимость между
физическими величинами характеризующими изучаемое явление, причем эти
физические величины являются функциями пространства и времени. Такое
уравнение характеризует протекание физического явления в любой точке тела в
любой момент времени.
Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между
температурой, временем и координатами элементарного объема.
Вывод дифференциального уравнения сделаем упрощенным методом.
Предположим, что имеется одномерное температурное поле (тепло
распространяется в одном направлении, например в направлении оси х ).
Термические коэффициенты считаем не зависимыми от координат и времени.
Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине элементарный
параллелепипед, объем которого равен [pic] (рис. 3.1) Количество тепла,
втекающего через левую грань [pic] в параллелепипед в единицу времени,
равно [pic] а количество тепла, вытекающего через противоположную грань в
единицу
времени, равно [pic]
[pic]
Рис 1.3. Поток тепла через элементарный объём
Если [pic], то элементарный параллелепипед будет нагреваться, тогда
разница между этими потоками тепла по закону сохранения энергии равна
теплу, аккумулированному данным элементарным параллелепипедом, т. е.
[pic] (3.1)
Величина [pic] есть неизвестная функция х. Если ее разложить в ряд
Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать:
[pic] (3.2)
Тогда из равенства (3.1) будем иметь:
[pic] (3.3)
Применяя уравнение теплопроводности [pic], получим:
[pic] (3.4)
Уравнение (3.5) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для
одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к
изотермическим поверхностям, то вектор q можно разложить на три
составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного
элементарным объемом тепла будет равно сумме
[pic] (3.5)
Тогда дифференциальное уравнение примет вид
[pic] (3.6)
Для симметричного одномерного температурного поля [pic] является
функцией одной координаты. Поясним это на примере бесконечного круглого
цилиндра. Если ось такого цилиндра совпадает с координатой z, то
температура в любой точке цилиндра будет зависеть только от координат х и
у. При равномерном охлаждении или нагревании цилиндра в любой точке,
отстоящей на расстоянии r от оси цилиндра, температура в данный момент
времени будет одна и та же. Следовательно, изотермические поверхности будут
представлять собой цилиндрические поверхности, коаксиально расположенные к
поверхности цилиндра. Между радиальной координатой r (радиус-вектор) и
координатами х и у существует связь
r2 = х2 + у2.
(3.7)
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечного
цилиндра можно преобразовать так:
[pic] (3.8)
для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:
[pic] (3.9)
[pic] (3.10)
Дифференцируя (3.8) по х, а (3.10) по у, получаем
[pic] (3.11)
[pic] (3.12)
Складывая уравнения (3.11) и (3.12) и принимая во внимание (3.7),
получим для уравнения теплопроводности следующее выражение:
В общем случае, когда температура зависит от всех трех координат (х, у, г),
дифференциальное уравнение теплопроводности конечного цилиндра имеет вид
[pic]; (3.13)
4 СОСТАВЛЕНИЕ АЛГОРИТМА
Для решения дифференциального уравнения теплопроводности бесконечного
цилиндра воспользуемся методом сеток, суть которого заключается в
разбиении координатной плоскости на равные части и вычислении значения
искомой функции в узлах образуемой сетки. Используя значения функции в
крайних точках можно последовательно вычислить её значение в любой части
координатной плоскости.
[pic];
(4.1)
Заменим частный дифференциал разностным отношением:
[pic]; (4.2)
Осуществим следующее преобразование функции:
[pic];
(4.3)
[pic]; (4.4)
[pic]; (4.5) [pic] (4.6)
[pic]; (4.7)
[pic]; (4.8)
Подготовим уравнение (4.8) для рекуррентного вычисления в MatLab V6.0
Произведём переобозначения:
[pic]; (4.9)
[pic]; (4.10)
[pic]; (4.11)
[pic]; (4.12)
[pic]; (4.13)
Имеем формулу:
T(i+1,j+1)=T(i,j+1)+(a*dt/dr)*(((T(i,j+2)-
2*T(i,j+1)+T(i,j))/dr)+((1/r)*(T(i,j+2)-T(i,j+1)))); (4.14)
В результате последовательных вычислений можно получить массив T
характеризующий температурное поле неограниченного цилиндра в любой момент
времени.
1.Программа начин
| |  скачать работу |
Моделирование процессов переработки пластмасс |
