Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие)
ого треугольника (хотя бы
некоторых), если известно, что один из его углов в 2 раза больше
другого?
Первые шесть задач этого раздела традиционные. Пять следующих (от
седьмой до одиннадцатой) внешне похожи на первые шесть, но содержат одну
неопределённость, существенно влияющую на характер решения: речь уже не
идёт об острых углах и потому к числу затронутых в условии углов придётся
теперь относить и прямой угол. Таким образом, задача получит несколько
возможных ответов. Последняя задача не может быть решена в полном виде до
изучения теоремы Пифагора, поэтому в седьмом классе возможно лишь её
частичное решение: либо равнобедренный прямоугольный треугольник с
отношением катетов 1:1, либо прямоугольный треугольник с углом 30(, где
отношение катета к гипотенузе равно 1:2.
IV. Применение свойства углов в треугольнике с дополнительными
построениями
1. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К.
Найти величину угла АКВ, если (А=50(, (В=100(.
2. В равнобедренном треугольнике угол равен 68(. Под каким углом
пересекаются биссектрисы двух других его углов?
3. Под каким углом пересекаются биссектрисы равностороннего
треугольника? высоты равностороннего треугольника?
4. Треугольник имеет углы 36( и 74(. Под каким углом пересекаются
высоты, проведенные из вершин этих углов? Под каким углом
пересекаются биссектрисы этих углов?
5. В треугольнике АВС (АВ=ВС) проведена биссектриса СМ. Найти углы
треугольника АВС, если величина угла АМС равна 120(.
6. В треугольнике АВС (А=40(, (С=70(, биссектрисы углов А и С
пересекаются в точке К, (АКС=125(. Найти (В.
7. В треугольнике АВС (А=30(, (С=80(, биссектрисы углов А и В
пересекаются в точке К, (АКВ=135(. Найти угол В.
8. Под каким углом пересекаются неравные биссектрисы равнобедренного
треугольника, один из углов которого 96(? 90(? 86(?
9. В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Найти
углы треугольника АВС, если (АМС=64(.
10. Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке К.
Найти величину угла АКВ, если величина угла АСВ равна 170(.
11. Найти величину угла треугольника. если биссектрисы двух других его
углов пересекаются под углом 100(.
12. В каком треугольнике биссектрисы пересекаются под прямым углом?
13. В треугольнике АВС биссектрисы углов А и В пересекаются в точке К.
(BАC=70(. Найти угол АКВ.
В задачах этого раздела также запланирован переход от традиционных
задач к задачам, требующим анализа условия и рассмотрения различных
вариантов.
V. Задачи с внешними углами треугольника
1. Внешний угол треугольника равен 130(, один из не смежных с ним
внутренних 70(. Найти углы треугольника.
2. Углы треугольника равны 47(, 69( и 64(. Найти внешние углы
треугольника.
3. Внешний угол треугольника равен 130(, а два внутренних 60( и 70(.
Найти углы треугольника.
4. Внешний угол треугольника равен 130(, а два внутренних – 30( и 60(.
Найти углы треугольника.
5. Один из внутренних углов прямоугольного треугольника равен 47(, а
один из внешних – 137(. Найти величины остальных внутренних углов.
6. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47(, внешний
133(. Найти величины остальных внутренних углов.
7. В прямоугольном треугольнике внутренний угол равен 47(, внешний
143(. Найти величины остальных внутренних углов.
8. Найти углы равнобедренного треугольника. если один из его внешних
углов равен 30(.
9. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 107(. Найти
его внутренние углы.
10. Один из внешних углов треугольника равен 130(, а один из внутренних
– 46(. Найти другие внутренние и внешние углы треугольника.
11. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 96(. Найти
внутренние углы треугольника.
12. Сумма внешних углов с вершинами А и В равна 186(. Найти величину
угла С треугольника АВС.
13. Сумма двух внешних углов с вершинами А и В равна 172(. Найти
величину угла С треугольника АВС.
14. Внешний угол прямоугольного треугольника в 7 раз больше внутреннего
с той же вершиной. Найти углы треугольника.
15. Внешний угол прямоугольного треугольника в 4 раза больше
внутреннего. Найти углы треугольника.
16. Найти сумму внешних углов прямоугольного треугольника (по одному при
каждой вершине).
17. Разность двух внешних углов треугольника равна третьему внешнему
углу. Найти внутренние углы треугольника.
18. Найти отношение внешних углов равнобедренного треугольника, если
отношение его внутренних углов 2:5.
19. Под каким углом пересекаются две прямые, если при пересечении их
третьей сумма внутренних односторонних углов равна 215(?
20. Один из углов треугольника в 3 раза больше другого, а разность
внешних углов при этих же вершинах равна 80(. Найти углы
треугольника.
21. Один из углов треугольника в 2 раза больше другого, а разность
внешних углов при этих же вершинах равна 80(. Найти углы
треугольника.
22. Внешние углы треугольника пропорциональны числам 3, 7, 8. Каким
числам пропорциональны его внутренние углы?
23. Прямые a и b пересекаются под углом 85(. Прямая c пересекает a и b
так, что разность внутренних односторонних углов равна 75(.
Определить вид полученного треугольника.
24. Прямые a и b пересекаются под углом 75(. Прямая c пересекает a и b
так, что разность внутренних односторонних углов равна 85(.
Определить вид полученного треугольника.
25. Определить, под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а
пересекает их так, что сумма внутренних односторонних углов равна
54(.
26. Прямые k и l пересекаются под углом 33(. Прямая р пересекает их так,
что один из внутренних односторонних углов в 2 раза больше другого.
Найти углы треугольника, образованного этими прямыми.
27. Прямые a и b пересекаются под углом 40(. Прямая р пересекает их так,
что в получившемся треугольнике углы относятся, как 1:7:28. Найти
углы треугольника, образованного этими прямыми.
28. Под каким углом пересекаются прямые c и d, если прямая а пересекает
их так, что разность внутренних односторонних углов равна 90(
Из задач этого раздела остановимся на шести последних задачах.
Возможные здесь варианты появляются несколько неожиданно для учащихся.
Например, в задаче 23 для построения прямой с возможны две ситуации (см.
рисунки):
[pic] [pic]
|В этом случае имеем: |Возможно ещё и такое размещение |
|85(+х(+х(+75(=180( |прямых. |
|Здесь получаем: |180(–85(+х(+х(+75(=180( |
|х=10(. |х=5(. |
Задача имеет два ответа: 10( и 5(.
В задаче 24 также возможны два варианта построения прямых а, b и с
(см. рисунки):
[pic] [pic]
|В данном случае имеем: |Для такого размещения: |
|75(+х(+х(+85(=180(. |180(–75(+х(+х(+85(=180(. |
|Отсюда: |Отсюда: |
|х=10(. |х=–5(, чего не может быть. |
Как видим, перестановка в условии задачи двух числовых данных (75( и
85() приводит к тому, что в ответе получается возможным лишь одно значение:
х=10(.
Вовсе необязательно предлагать эти задачи всем учащимся. Для учащихся
с преимущественной оценкой "3" многие задачи из второй части каждого
раздела недоступны и необязательны. В то же время для отлично успевающих
учащихся некоторые изначальные задачи очень просты и потому их можно
пропускать. Из предложенного перечня можно выделить набор задач, минимально
необходимый для оценки "3", потом – набор задач, минимально необходимый для
оценки "4", наконец – набор задач, минимально необходимый для оценки "5"
(первый, второй и третий уровни освоения указанной темы). Видимо, можно
назвать задачи из этого перечня, которые превышают и третий уровень, т.е.
не являются обязательными (но весьма желательными) для получения оценки
"5".
Так, задачи первого уровня сложности рассчитаны на прямое применение
некоторого алгоритмического правила, а также применение этого правила с
небольшими вариациями. Задачи этого уровня не представляют сложности для
большинства учащихся, потому что подобных этим задач достаточно много
решается на уроках. Задачи неопределённые здесь не рекомендуются, а задачи
переопределённые допускаются в случае несложного выявления избыточных
данных (о наличии которых учащихся в большинстве случаев следует
предупреждать).
Задачи второго уровня сложности могут иметь следующие отличительные
черты:
. условие задачи избыточно, но не содержит противоречия и задача
решается однозначно. Для решения задач этого типа необходимо из всех
данных задачи выбрать необходимые, и применить их.
. условие задачи содержит противоречие (состав условия задачи может
быть как полным, так и избыточным).
. условие задачи не содержит никаки
| |  скачать работу |
Нестандартные задачи в курсе школьной математики (неполное и избыточное условие) |
