О неопределенных бинарных квадратичных формах
и (при [pic]) с одним и тем же знаком крайних
коэффициентов [pic] называется порядком форм.
Так как [pic] и знаки получающихся коэффициентов [pic] при [pic] не
меняются при переходе от данной формы к эквивалентной ей форме, то порядок
состоит из нескольких классов.
При [pic] формы и порядок называются собственно примитивными, а при
[pic] и [pic] ([pic])- несобственно примитивными. Собственно и классы форм
называются собственно примитивными и несобственно примитивными.
Возникает вопрос: конечно или бесконечно число целочисленных
приведенных неопределенных форм. Ответ дает следующее.
Предложение 5. Число всех целочисленных приведенных неопределенных форм с
заданным дискриминантом конечно.
Доказательство см. [2,п.185].
§2. О периодах неопределенных бинарных квадратичных уравнений
Теория неопределенных бинарных квадратичных форм существенно
отличается от теории определенных форм наличием периодов приведенных форм.
Гаусс первым обнаружил это явление и глубоко вник в природу приведенных
форм с положительным неквадратным дискриминантом в связи с решением
основных задач этой теории (см. [1,2]). В этом параграфе мы дадим основные
свойства периодов неопределенных форм.
Нашему изложению мы сначала предпошлем те основные понятия из
гауссовой теории квадратичных форм, которые нам понадобятся в дальнейшем
(см. [1,2]).
Определение 1. формой соседней справа к целочисленной форме [pic]
называется форма [pic], которая получается из формы [pic] подстановкой
[pic], где [pic]-некоторое целое число.
Заметим, что при такой подстановке форма [pic] собственно
эквивалентна форме [pic]. Зависимость между соседними формами [pic] и [pic]
можно охарактеризовать так: во-первых, формы [pic] и [pic] имеют одинаковый
дискриминант; во-вторых, последний коэффициент [pic] формы [pic] является
вместе с тем первым коэффициентом формы [pic]; в третьих, сумма их средних
коэффициентов [pic] делится на [pic].
Аналогичным образом определяется соседняя слева форма [pic] к форме
[pic].
Из определения соседних форм непосредственно следует
Предложение 1. Соседние формы собственно эквивалентны.
С помощью процесса нахождения последовательных соседних форм мы
придем к другому важному понятию периода приведенных форм. Именно, пусть
[pic]-приведенная форма дискриминанта [pic] и для нее [pic] является
соседней справа; для [pic] форма [pic] является соседней справа; для [pic]
форма [pic] является соседней справа и т.д. Тогда все формы
[pic],[pic],[pic],…, являются собственно эквивалентными между собой, так и
форме [pic].
Так как в силу предложения 5 §1 число всех целочисленных приведенных
неопределенных бинарных квадратичных форм с заданным дискриминантом
конечно, то в бесконечном ряду форм [pic],[pic],[pic],[pic],… не все формы
могут быть различными между собой. Если предположить, что [pic] и [pic]
совпадают, то формы [pic] и [pic] будут приведенными соседними слева для
одной и той же приведенной формы и потому будут совпадать. Поэтому [pic] и
[pic] и т.д. будут совпадать. Следовательно, в ряду [pic],[pic],[pic],…
обязательно повторится первая форма [pic] и если [pic]- первая форма в этом
ряду, совпадающая с [pic], то все формы [pic],[pic],[pic],[pic],…,[pic]
различны между собой.
Определение 2. Совокупность различных последовательных соседних приведенных
неопределенных форм [pic],[pic],[pic],…,[pic] называется периодом формы
[pic].
Приведем несколько общих замечаний об этих периодах, следующих из их
определения (см. [2]).
Предложение 2. Если формы [pic],[pic],[pic],… представлены следующим
образом
[pic], [pic], [pic],…,[pic], [pic], [pic],…, то все величины [pic] будут
иметь одинаковые знаки, причем [pic] все будут положительны.
Отсюда получается следующее свойство периодов.
Предложение 3. Количество квадратичных форм, из которых состоит период
заданной формы [pic] всегда четно.
Доказательство предложения 3 см. [1,2].
Заметим, что каждая форма [pic], которая содержится в периоде формы
[pic] будет иметь тот же период, что и [pic].Именно, этот период будет
таков:
[pic].
Отсюда получается следующее свойство периодов.
Предложение 4. Все целочисленные неопределенные бинарные квадратичные формы
с одинаковым дискриминантом могут быть разбиты на периоды.
Доказательство (см. [2] разд. V, п.187) основано на том их свойстве,
что периоды либо совпадают либо они попарно не пересекаются и каждая форма
попадет только в один из периодов.
Пример. Все приведенные неопределенные формы с дискриминантом [pic]
разбиваются на следующие шесть периодов:
I. [pic];
II. [pic];
III. [pic];
IV. [pic];
V. [pic];
VI. [pic].
Видим что в каждом периоде содержится четное число приведенных форм: в
периодах I и II по четыре формы, а в остальных периодах по шесть форм.
Особы интерес представляют так называемые обратные и двусторонние
формы, показывающие наряду с гауссовой композицией форм глубокий смысл
различия собственной и несобственной эквивалентностью целочисленных
бинарных квадратичных форм.
Определение 3. Формы [pic] и [pic], и их классы называются обратными: если
[pic]- один из этих классов, то другой класс [pic] будет обратным к классу
[pic] в смысле композиции классов.
Замечание. Так как форма [pic] переводится в форму [pic] подстановкой [pic]
определителя [pic], то каждая форма класса [pic] несобственно эквивалентна
каждой форме из обратного класса [pic] и обратно, при несобственной
эквивалентности двух форм их классы будут обратными. (при этом еще
учитывается, что если форма [pic] несобственно эквивалентна [pic], а [pic]
собственно эквивалентна [pic], то [pic] несобственно эквивалентна [pic]).
Определение 4. Класс бинарных квадратичных форм, совпадающий с обратным,
называется двусторонним классом.
Из этого определения с учетом сделанного выше замечания получается
Предложение 5. Каждая форма двустороннего класса несобственно эквивалентна
самой себе.
Доказательство. Пусть [pic]- двусторонний класс и [pic]. Покажем, что
[pic] несобственно эквивалентна самой себе. Обозначим [pic].
Тогда форма [pic] и пусть [pic] переводится в [pic] подстановкой [pic] и
запишем это в следующем виде: [pic]. Т.к. [pic]- двусторонний класс, т.е.
[pic], то [pic]. Но так как [pic], то [pic] и [pic] собственно
эквивалентны, то найдется подстановка [pic] определителя [pic], что [pic].
Тогда получаем [pic], т.е. [pic]. Но так как [pic], то форма [pic]
несобственно эквивалентна самой себе.
Предложение 5 доказано.
Определение 5. Форма [pic], в которой [pic] делится на [pic],
называется двусторонней.
Следующие два предложения дают некоторую информацию о строении
двусторонних классов.
Предложение 6. В каждом двустороннем классе содержится по крайней мере одна
двусторонняя форма.
Предложение 7. В каждом двустороннем классе положительного дискриминанта
содержатся две и только две приведенные двусторонние формы.
Доказательство этих предложений имеются в [1,2].
Перейдем теперь к изложению основных результатов этого параграфа.
Возникает еще вопрос: всегда ли двусторонняя форма принадлежит некоторому
двустороннему классу. Ответ дает следующая теорема
Теорема 1. Каждая двусторонняя форма принадлежит некоторому
двустороннему классу .
Доказательство. Пусть [pic]- двусторонняя форма, т.е. [pic] ([pic]
делится на [pic]) и обозначим ее класс через [pic]. Покажем, что [pic]-
двусторонний класс. По определению обратная к [pic] форме [pic]. Так как
[pic], то форма [pic] переводится в себя подстановкой [pic]. Далее имеем,
что [pic] переводится в [pic] подстановкой
[pic]
определителя 1, т.е. [pic] и [pic] собственно эквивалентны. Тогда они
принадлежат одному и тому же классу, т.е. [pic] и значит, [pic]-
двусторонний класс.
Теорема 1 доказана.
В связи с предложением 7 возникает еще следующий вопрос: могут ли быть
в периоде форм двустороннего класса приведенные двусторонние формы
соседними друг другу? Следующее утверждение дает необходимое условие того,
что двусторонние приведенные формы будут соседними.
Теорема 2. Для того чтобы двусторонние примитивные приведенные формы
[pic] и [pic] из двустороннего класса дискриминанта [pic] были соседними
необходимо, чтобы [pic], где [pic]- целая часть числа [pic].
Доказательство. Пусть формы [pic] и [pic] соседние. Тогда [pic], где [pic]-
некоторое целое число. Так как [pic] и [pic]- двусторонние формы, то [pic]
и [pic], где последнюю делимость можно заменить следующим условием: [pic]
или что тоже самое [pic], откуда [pic]. Тогда в силу взаимной простоты
[pic] и [pic] (это следует из примитивности формы [pic]) из условий
делимости [pic] и [pic] следует, что [pic]. Но так как [pic], то [pic] или
что тоже самое [pic]. Из последнего условия делимости следует неравенство
[pic], откуда [pic]. Но так как форма [pic] приведенная, то для числа [pic]
должны выполняться неравенства [pic], из которых в свою очередь следует,
что [pic].
Теорема 2 доказана.
Пример. Для [pic] следующие четыре периода по две соседние двусторонние
формы
[pic], [pic]
[pic], [pic]
[pic], [pic]
[pic], [pic]
При этом эти формы удовлетворяют теореме 2, т.к. [pic].
Замечание. Из полученной теоремы следует, что приведенные двусторонние
формы будут соседними в очень малом числе случаев и в большинстве
| |  скачать работу |
О неопределенных бинарных квадратичных формах |
