О неопределенных бинарных квадратичных формах
случаев
они не будут соседними. Вопрос о точном числе случаев, когда приведенные
двусторонние формы будут соседними по-видимому является очень трудным и мы
его не рассматриваем.
§3. Об оценке сверху числа приведенных неопределенных бинарных квадратичных
форм.
О числе приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм, так и
о числе классов неопределенных квадратичных форм известно очень мало. Для
числа классов бинарных квадратичных форм имеется точная формула Дирихле.
Другим важным результатом являются неравенства, принадлежащие немецкому
математику Зигелю.
[pic],
где [pic]- число приведенных неопределенных бинарных квадратичных форм
дискриминанта [pic]; [pic] и [pic]- положительные постоянные, зависящие от
[pic]; причем [pic]- любое фиксированное положительное число. Наша цель
состоит в том, чтобы элементарным способом доказать верхнюю оценку в
неравенствах Зигеля для [pic]. Приводимое доказательство будет опираться на
некоторые свойства функции числа положительных делителей натурального числа
и мы их приведем вначале.
Арифметическая функция [pic] определяется как число положительных
делителей натурального числа [pic].
Предложение 1. Функция [pic] мультипликативна, т.е. [pic], если [pic].
Из этого предложения 1 легко выводится следующее
Предложение 2. Если [pic]- каноническое разложение натурального числа
[pic], то
[pic].
Доказательства предложений 1 и 2 приводятся во всех учебниках по
теории чисел (напр. см. [4,6]).
Предложение 3. Для числа [pic] делителя натурального числа имеет место
неравенство
[pic].
Доказательство. Пусть [pic] и [pic]- канонические разложения чисел
[pic] и [pic], и пусть
[pic], [pic],…,[pic]- все простые делители наибольшего общего делителя
чисел [pic] и [pic]. Тогда ясно, что
[pic]
[pic]. (1)
Но так как справедливо неравенство
[pic] [pic], (2)
то неравенство (1) с учетом (2) и предложения 2 перейдет в следующие
соотношения
[pic]
[pic]
[pic].
Предложение 3 доказано.
Предложение 4. Для [pic] имеет место неравенство
[pic],
где [pic]- произвольное положительное число, [pic]- постоянная, зависящая
только от [pic].
Доказательство. Мы следуем рассуждениям в [4,5] (доказательство
имеется также в [3]). Пусть [pic]- каноническое разложение числа [pic].
Тогда имеем
[pic].
Рассмотрим отношение [pic], в случаях [pic] и [pic].
Если [pic], то [pic], так как [pic].
Если [pic], то считая [pic], получим
[pic].
Поэтому
[pic].
Следовательно, полагая [pic], получим неравенство
[pic].
Предложение 4 доказано.
Следующее предложение характеризует среднее значение [pic] в нужной для нас
форме.
Предложение 5. Для [pic] имеет место следующая оценка сверху
[pic],
где [pic]- постоянная [pic].
Доказательство. Имеем
[pic].
Последняя сумма геометрически представляет собой число целых точек в первой
четверти, лежащих на или под гиперболой [pic], при этом целые точки,
лежащие на осях координат исключаются, так как для них [pic]. Поэтому
исследуемую сумму можно записать в виде
[pic], где [pic]- целая часть числа [pic].
Оцениваем теперь сумму
[pic],
где [pic].
Здесь мы воспользовались следующим соотношением из математического анализа
[pic],
где
[pic]
есть так называемая постоянная Эйлера.
Предложение 5 доказано.
Перейдем теперь к элементарному доказательству следующего результата.
Теорема (Зигель). Для числа [pic] всех приведенных неопределенных бинарных
квадратичных форм дискриминанта [pic] справедливо неравенство
[pic],
где [pic]- произвольное положительное число, [pic]- постоянная, зависящая
только от [pic].
Доказательство. Пусть [pic]- неопределенная приведенная форма
дискриминанта [pic]. Тогда [pic],
[pic], [pic].
Оценим сверху число приведенных форм с [pic] и [pic]. Тогда
[pic].
Применяя к последней сумме предложения 3,4,5, получим
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic], где [pic].
Теорема доказана.
§4. О диагональных формах и оценка снизу числа классов в роде.
В этом параграфе мы получим одну оценку снизу для числа классов в
роде неопределенных бинарных квадратичных форм. Сначала введем
соответствующие понятия.
Определение 1. Целое число [pic], не делящееся на простое число [pic]
называется квадратичным вычетом по модулю простого числа, если число [pic]
сравнимо с квадратом некоторого целого числа по модулю [pic], т.е. [pic]-
квадратичный вычет по модулю [pic], если сравнение [pic] имеет решение; в
противном случае число [pic] называется квадратичным невычетом по модулю
[pic]. В теории квадратичных вычетов очень полезно использование так
называемого символа Лежандра.
Определение 2. Символом Лежандра [pic] числа [pic] по простому модулю
[pic], которое определяется следующим соотношением
[pic]
Приведем некоторые основные свойства символа Лежандра, которые нам
понадобятся.
Свойство 1. [pic], если [pic].
Свойство 2. Если [pic], то [pic] (свойство периодичности).
Свойство 3. [pic] (свойство мультипликативности)
Свойство 4. [pic], если [pic].
Определим теперь понятие рода квадратичных форм, впервые введенное
Гауссом. Совокупность классов собственно примитивного порядка данного
дискриминанта [pic] Гаусс в своей арифметической теории квадратичных форм
разделяет на ряды, относя в один и тот же род все те классы, формы которых
имеют и тот же «характер». Под характером примитивной формы или
примитивного класса форм Гаусс понимает следующее.
Пусть [pic]- простой делитель дискриминанта [pic], и пусть число всех
этих различных модулей [pic] равно [pic]. Можно показать, что если [pic]-
один из этих [pic] модулей, то для всех чисел [pic], представимых данной
собственно примитивной формой дискриминанта [pic] и взаимно простых с
[pic], символы Лежандра [pic] имеют одно и то же значение. В самом деле,
пусть
[pic]- собственно примитивная форма дискриминанта [pic] и [pic]- любой
нечетный простой делитель числа [pic] и [pic], [pic]- два числа,
представляемых формой [pic] и не делящихся на [pic]. Подстановка [pic]
определителя [pic] переводит [pic] в форму [pic] (см. соотношения (3) §1),
причем [pic], откуда [pic], т.е. в силу определения символа Лежандра имеем
[pic]. Из этого равенства в очередь на основании свойств 3 и 4следует, что
[pic]. Итак, символ Лежандра [pic] имеет одно и то же значение для всех
чисел [pic], представляемых формой [pic]. Выпишем эти символы Лежандра,
которые все равны [pic] или [pic] для всех [pic] указанных модулей [pic],
взятых в определенном выбранном порядке. Тогда для данной квадратичной
формы получается некоторая определенная последовательность [pic] чисел,
равных [pic]. Эта последовательность чисел, равных [pic] и называется
характером рассматриваемой собственно примитивной бинарной квадратичной
формы дискриминанта [pic] или характером класса этой формы.
Так как число всех различных последовательностей, составленных из
[pic] членов, равных [pic] или [pic] равно [pic], то число различных
характеров форм данного дискриминанта, а следовательно и число родов не
больше, чем [pic]. Чтобы решить вопрос о точном числе родов Гаусс вводит в
рассмотрение операции композиции классов и композиции родов квадратичных
форм. Не вдаваясь в эту сложную теорию Гаусса, мы приведем его результаты о
числе родов и о числе классов в каждом роде.
Теорема 1 (Гаусс). Число родов бинарных квадратичных форм в данном
собственно примитивном порядке дискриминанта [pic] равно [pic], где [pic]
определяется следующими условиями:
[pic] при [pic],
[pic] при [pic],
[pic] при [pic],
при этом [pic]- число различных простых делителей числа [pic].
Теорема 2 (Гаусс). Каждый род собственно примитивного порядка содержит одно
и то же число классов, т.е.
[pic],
где [pic]- число всех классов, [pic]- число классов в каждом роде и [pic]-
число родов.
Перейдем теперь после такого предварительного обсуждения к изложению
результатов данного параграфа. Следующая теорема устанавливает
существование неэквивалентных диагональных квадратичных форм данного
дискриминанта.
Теорема 3. Диагональная форма [pic] дискриминанта [pic] не эквивалентна
никакой другой диагональной форме того же дискриминанта.
Доказательство. Допустим, что диагональная форма
[pic] (1)
дискриминанта [pic] собственно эквивалентна другой диагональной форме
[pic] (2)
того же дискриминанта [pic]. Тогда найдется целочисленная унимодулярная
подстановка [pic], которая переводит форму [pic] в форму [pic].
Имеем
[pic] (3)
где
[pic] (4)
Подставляя (3) в (1), получим
[pic]
[pic].
Но так как, мы требуем, чтобы форма [pic] была тоже диаг
| |  скачать работу |
О неопределенных бинарных квадратичных формах |
