О неопределенных бинарных квадратичных формах
ональной, то
[pic]. (5)
Тогда форма [pic] перепишется в следующем виде
[pic]. (6)
Далее, так как [pic] имеет тот же дискриминант, что и форма [pic], то
[pic], (7)
или что то же самое
[pic];
[pic];
[pic] (8)
откуда с учетом (5), полученное соотношение (8) перепишется в виде
[pic],
что противоречит условию (4).
Значит наше допущение о том, что диагональная форма эквивалентна
другой диагональной форме того же дискриминанта неверно.
Теорема 3 доказана.
Полученную теорему 3 можно применить к оценке снизу числа классов в
роде неопределенных бинарных квадратичных форм собственно примитивного
порядка.
Теорема 4. Если для каждого квадратного делителя [pic] дискриминанта [pic]
выполнены условия:
НОД [pic], [pic] [pic] простого [pic],
то для числа [pic] классов неопределенных квадратичных форм дискриминанта
[pic] в каждом роде собственно примитивного порядка выполняется неравенство
[pic].
Доказательство. Пусть [pic]- собственно примитивная форма
дискриминанта [pic], т.е. НОД [pic] и пусть она представляет целое число
[pic], т.е. [pic] при некоторых целых [pic] и [pic]. Будем считать, что
[pic], где [pic]- целое число. Тогда символ Лежандра числа [pic] по
простому делителю [pic] числа [pic] равен
[pic].
Далее [pic] [pic] по условию имеем
[pic].
Полученное означает, что форма [pic] принадлежит главному роду (род
называется главным, если характеры его форм равны [pic]). Число таких форма
равно числу квадратных делителей [pic] дискриминанта [pic] с условием НОД
[pic] и все они эквивалентны по теореме 3. Поэтому для числа классов [pic]
в главном роде справедлива оценка снизу
[pic] с условием [pic].
В силу теоремы 2 Гаусса такая же оценка справедлива и для числа классов
всех остальных родов.
Теорема 4 доказана.
ЛИТЕРАТУРА.
1. Венков Б.А. Элементарная теория чисел. М-Л., 1937, с. 218
2. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел. Изд-во АН СССР, М., 1959, с.
978
3. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. Изд-во «Мир»,
М., 1974, с. 187
4. Виноградов И.М. Основы теории чисел. Изд-во «Наука», М., 1972 с. 267
5. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. М.,
«Наука», 1980, с. 144
6. Бухштаб А.А. Теория чисел. М., 1966, с. 384
| |  скачать работу |
О неопределенных бинарных квадратичных формах |
