Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность
собенности механики и
это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии
математики. Математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное
знание, а скорее как знание вторичное, опытное, зависящее в своей структуре
от некоторых внешних реальностей. Эта философская установка проепределила в
свою очередь конкретное методологическое мышление, ярко проявившееся в
сфере обоснования дифференциального и интегрального исчислений.
Основным понятием теории математика и философа Лейбница было понятие
дифференциала, или бесконечно малого приращения функции. Пусть мы имеем
функцию y=f(x). Если мы увеличим ее аргумент (x) на некоторую величину h,
то получим приращение функции dy=f(x+h)-f(x). Для Лейбница dy не равно 0,
но вместе с тем эта величина столь мала, что, умножив ее на любое конечное
число, мы не получим конечной величины. В основном своем определении
Лейбниц проводил чуждую математике и вообще здравому смыслу идею
неархимедовой величины.
Противоречивость алгоритмов дифференциального исчисления, несогласие их
с представлениями о математической строгости, бало очевидным для
большинства математиков XVIII в. Между тем само это исчисление находило все
новые приложения в механике и астрономии, превращаясь в центральную и
наиболее продуктивную часть математического знания. Проблема обоснования
дифференциального исчисления становилась все более актуальной, перерастая в
некоторую проблему века, вызвавшую, по словам Маркса, отклик даже в мире
неспециалистов.
Движение математического анализа в XVIII в. к обоснованию, кажется,
можно полностью описать в системе «теория-приложение», те есть как
диалектическое взаимодействие этих двух моментов. Необходимость вычисления
площадей, ограниченных произвольными кривыми и.т.д. привело к открытию
алгоритмов дифференциального исчисления. Приложение этих алгоритмов к новым
задачам заставило обобщить и уточнить исходные понятия и сделать более
строгими сами алгоритмы. В конечном итоге анализ сформировался как
логически непротиворечивая, относительно замкнутая и полная понятийная
система.
1.3. Неевклидовы геометрии и развитие философии математики в XIX в.
Философские дискуссии в математике XIX в. Были связаны в основном с
развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В
области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но
они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были
устранены. Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о
природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро
чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно
малых.
11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский
представил ученому совету физико-математического факультета доклад с
изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома
Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой
геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую
геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой
геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В
последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии
и указал ряд ее приложений в области математического анализа.
Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их
построение и доказательство непротиворечивости представляет собой
окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в
течение двух тысячелетий. Но не только этому математическому значению
неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только
крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом,
противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе
математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к
коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в
системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий.
Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики
выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.
В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два
направления: эмпиризм и априоризм.
Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с
природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время
как геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как
они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное
положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение
арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты
арифметики (особенно это касается иррациональных и мнимых чисел)
рассматриваются как мысленные образования, как сфера, где мы можем
опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно
связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой
половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном
пространстве.
Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику
в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в
дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в.
выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии
и арифметики не являются отражением структуры космоса, как думали
пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но
представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего
человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания -
пространство и время. Пространство и время - необходимые внутренние
представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего
эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в
понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же
отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические
суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но
вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми
являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности,
хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как
система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм
чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть
полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства
«постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного
синтеза»
В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму.
Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В
методологических тербованиях к математике рационалисты практически
сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических
аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от
имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством
чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от
требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических
движений в пространстве.
Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально
противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем
определенное единство в методологических требованиях: от математических
истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной
наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того
или иного рода.
Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя
открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются
вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой
изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с
другими науками. Неевклидовы геометрии - пример одного из таких открытий,
чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к
таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести
только три события, а именно появления самой идеи математики как
дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие
дифференциального исчисления.
1.4. Математика в XX в.
Факты, требующие перестройки представления о сущности математики как
науки, по своему характеру могут быть самыми разными. Такими фактами могут
быть отдельные теоремы, новые математические теории, новые явления в
прикладной математике и т. д. История показывает, что на каждом конкретном
этапе философия математики вращается вокруг какого-то определенного круга
событий в математике, в какой-то мере, может быть, даже абсолютизируя его и
преувеличивая его значимость. Для философии математики XX в. таким
математическим базисом являются основания математики, попытки математиков
устранить противоречия из теории множеств, а в общем плане - найти
средства, гарантирующие надежность математических рассуждений.
Философия и математика
Подобно тому как основным вопросом философии является вопрос об
отношении сознания к материи, стержневым вопросом философии математики
является вопрос об отношении понятий математики к объективной реа
| |  скачать работу |
Отношение сознания к материи: математика и объективная реальность |
