Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Приближенное решение уравнений



 Другие рефераты
Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева Приближенное вычисление определенных интегралов Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

Приближённое решение уравнений.


 Если квадратные уравнения решали уже  древние  греки,  то  способы  решения
алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени  были  открыты  лишь  в
XVI веке. Эти классические способы дают точные значения  корней  и  выражают
их через коэффициенты уравнения при  помощи  радикалов  различных  степеней.
Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому  имеют  малую
практическую ценность.


В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней  доказано,  что
в общем случае их  решения  не  выражаются  через  коэффициенты  при  помощи
радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни  уже  такого  простого
по виду уравнения, как:


х^5-4х-2=0


Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения  уравнения
высших степеней. Имеется много способов приближенного  решения  уравнений  -
алгебраических и неалгебраических (или, как их  называют,  трансцендентных),
позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной степенью  точности,
что для практических целей вполне достаточно.


На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет  идти  о
вычислении действительных корней.


Пусть нужно решить уравнение:


                                                                      f(x)=0
                                        (1)


Если обратиться к рисунку,  то  каждый  корень  уравнения  (1)  представляет
собой абсциссу точки пересечения графика функции y=f(х)

C осью Ох (рисунок №1)
С помощью графика функции или  каким-нибудь  иным  способом  обычно  удаётся
установить приблизительные значения корней. Это позволяет для каждого  корня
получить грубые приближения по недостатку и по избытку. Такого  рода  грубых
приближений во многих случаях оказывается достаточно, чтобы, отправляясь  от
них, получить все значения корня с требуемой точностью.  Об  этом  и  пойдёт
речь.
Итак, пусть корень Е уравнения (1) "зажат" между двумя его  приближениями  а
и b по недостатку и по избытку а< E0, f``(х)>0  (рисунок  №3),  -  в
остальных случаях рассуждение вполне аналогично. В  этом  первом  случае  x1
лежит между a и Е. С отрезком [x1, b] поступаем так же, как мы  поступаем  с
отрезком [a, b] (рисунок №4). При этом  для  нового  приближённого  значения
корня получаем:


 x1 = x2-(b- x1)*f(x1)/f(b)-f(x1)


( в формуле (2) заменяем x1  на x2, а на  x1  );  значение  x2   оказывается
между x1 и Е. Рассматриваем отрезок [x2, b]  и  находим  новое  приближённое
x3,  заключённое  между  x2  и   Е   и.   т.   д.   В   результате   получим
последовательность  а<…<…<|f`( xn)|/m (5)
Эта формула, заметим, совершенно не связана со способом отыскивания  величин
xn и, следовательно, приложила к приближённым  значениям  корня,  получаемым
любым методом. Формула (5) позволяет судить о близости xn к  Е  по  величине
значения f(xn). Однако в большинстве случаев она даёт слишком грубую  оценку
погрешности, т. е. фактическая ошибка оказывается значительно меньше.
Легко доказать, что последовательность приближений:
x1,x2,x3,…xn,… (6)
для корня Е, получаемых по способу хорд, всегда сходится  к  Е.  Из  случая,
рассматривающегося выше, мы видим, что последовательность (6)  -  монотонная
и ограниченная. Поэтому она имеет некоторый предел n<0, а f(1,7)=0,952 >0
Найдём первое приближённое значение корня по формуле (2):
х1=1-91,7-1)* f(1)/ f(1,7)- f(1)=1,588;
так как f(1,588)=-0,817<0, то, применяя вторично способ хорд  к   промежутку
(1,588; 1,7), найдём второе приближённое значение корня:
 х2= 1,588-(1,7-1,588) f(1,588)/ f(1,7)- f(1,588)=1,639;
f(1,639)=-0,051<0.
Теперь найдём третье приближённое значение:
х3=1,639-(1,7-1,639) f(1,639)/ f(1,7)- f(1,639)=1,642;
f(1,642)=-0,016<0.
Теперь найдём четвёртое приближённое значение:
х4=1,642-(1,7-1,642) f(1,642)/ f(1,7)- f(1,642)=1,643;
f(1,643)=0,004>0
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.


                            2.2  Способ касательных (или способ Ньютона).

В том из концов дуги  АВ  (рисунок  №5),  в  котором  знаки  f(х)  и  f``(х)
совпадают, проводим касательную и  за  первое  приближённое  значение  корня
принимаем абсциссу х1` точки Д  пересечения  этой  касательной  с  осью  Ох.
Обратимся вновь  к  первому  случаю,  соответствующему  первому  рисунку  №2
(f`(x)>0,  f``(x)>0),  -   в   остальных   случаях   рассуждают   опять-таки
аналогично. Уравнение интересующей нас касательной имеет вид:
y-f(b)=f`(b)(x-b),
и поэтому в точке Д:
-f(b)=f`(b)(x1`-b),
откуда:
  x1`=b-f(b)/f`(b).
Из рисунка видно, что x1` лежит между Е и b. С отрезком [a,  x1`]  поступаем
так же, как с отрезком [a, b] ( рисунок  №5),  и  в  результате  для  нового
приближённого значения корня получим:
х2` = x1`- f( x1`)/ f`( x1`).
Значение х2` оказывается между Е и x1`. Рассматриваем  отрезок  [a,  х2`]  и
находим   новое   приближение   х3`   и   т.   д.   В   результате   получим
последовательность:
b> x1`> х2`> х3`>…>xn`>…>E (7)
все более точных приближённых значений корня, причём:
xn+1`= xn`- f(xn`)/ f`( xn`) (8)
Эта формула справедлива для всех четырёх случаев,  изображённых  на  рисунке
32.  Для   оценки   погрешностей    полученных   приближений   можно   опять
воспользоваться формулой (5), как и в первом случае,  легко  устанавливается
сходимость последовальности x1`, х2`, х3`,…,xn`,… к значению Е
Пример №2. Методом касательных найдём положительный  корень уравнения
x^4-2x-4=0
с точностью до 0,01.
Решение:
В этом уравнении f(х)=х^4-2x-4, f`(х)=4х^3-2,а f``(х)=12x^2.Так как  f(х)  и
f``(х) при х0 = 1,7 имеют один и тот же знак, а именно:
 f(1,7)=0,952>0 и f``(1,7)>0, то применяем формулу:
x1`= х0- f(х0)/ f`( х0), где f`(1,7)=4*1,7^3-2=17,652. Тогда
x1=1,7- 0,952/17,652=1,646.
Применяем второй раз способ касательных:
х2= x1- f(x1)/ f` (x1),  где f(x1)= f(1,646)=0,048,  f` (1,646) =15,838;
x^2=1,646-0,048/15,838=1,643;
f(1,643)=0,004, f` (1,643)=15,740;
х3=1,643-0,004/15,740=1,6427.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64.

                         2.3 Комбинированный способ

          (комбинированное применение способов хорд и касательных).
Этот  способ  состоит  в  одновременном  использовании   способов   хорд   и
касательных. Остановим своё внимание опять  на  случае,  отвечающем  первому
рисунку №2. Значения  x1  и  x1`,  вычисляем  по  прежним  формулам,  т.  е.
принимаем:
x1=a-(b-a)f(a)/f(b)-f(a),
                            (10)
x1`=b-f(b)/f`(b), причём: x1< x1`
Теперь вместо отрезка [a, b]рассматриваем  отрезок  [x1,x1`]  (рисунок  №6).
Это даёт:
х2= x1-( x1`- x1)f(x1)/f(x1`)-f(x1),
х2`=x1`- f(x1)/f(x1`),причём х2< х2`
Далее рассматриваем отрезок [х2, х2`] и т. д.
В результате получаем:
хn< xn`,
хn+1=  xn-(  xn`-  xn)f(xn)/f(xn`)-f(xn),  а  хn+1`=   xn`-f(xn`)/f`(   xn`)
(11)
В данном случае мы приближаемся к корню сразу с обеих сторон  (рисунок  №6),
а не с одной стороны, как в способе  хорд  и  способе  касательных.  Поэтому
разность xn`- xn  позволяет судить  о  качестве  полученных  приближений,  и
никакие формулы для оценки здесь не нужны.
Пример№3. Комбинированным способом способом вычислим с точностью  до  0,0005
положительные корни уравнения
X^5-x-0,2=0
Решение: График многочлена f(x)= X^5-x-0,2  для  х>0  изображён  на  рисунке
№7. Из этого рисунка видно, что уравнение имеет  положительный  единственный
корень, лежащий на отрезке 1<1,1.  Поскольку  f`(x)=5x^4-1,  f``(x)=20x^3,
постольку   на  интересующем  нас  отрезке  f`(x0>0,f``(x)>0  т.   е.   знак
производных сохраняется. Применяем комбинированный способ:
f(a)=f(1)=-0,2, f(b)=f(1,1)=0,31051, f`(b)=f`(1,1)=6,3205.
Формулы (10) дают:
 x1=1+0,1*0,2/0,51051=1,039,
x1`=1,1-0,31051/6,3205=1,051
При этом x1`- x1=0,012, т. е. точность недостаточна. Совершаем второй шаг:
f(1,039)=-0,0282;f(1,051)=0,0313,f`(1,051)=5,1005.
 По формулам(11):
х2=1,039=0,012*0,0282/0,0595=1,04469,х2`=1,051-0,0313/5,1005=1,04487.
При этом х2`- х2=0,00018, т. е. точность достаточна. Таким образом:
1,04469 < 1,04487
Любое из фигурирующих здесь чисел можно взять за  приближённое  значение  Е,
причём ошибка не превзойдёт 0,00018.



скачать работу


 Другие рефераты
Богослужение
Казахстан в мировом содружестве
Национальные лики духовного
Внешняя политика Японии в 30-40 гг. XX века


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ