Производная в курсе алгебры средней школы
жки и т. д. Каждый показатель
представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким
образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению
экстремума функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в
ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по
одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -,
то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не
меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки
x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет
максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график
функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на
этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).
Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли
которой может быть смоделирована зависимостью:
?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qextr = 4
При q < qextr = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > qextr = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может
производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =
p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить,
а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же
фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет
выпуск на пределе своих производственных мощностей.
4-2. Эластичность спроса
Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел
[pic]
Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая
эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос
реагирует на изменение цены. Если |ED|>1, то спрос называется эластичным,
если |ED|<1, то неэластичным. В случае ED=0 спрос называется совершенно
неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению
спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя
увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос
является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности
спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на
продукцию.
4-3. Предельный анализ
Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в
экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов
исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях
объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных
значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная
(в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае
функции нескольких переменных)
В экономике часто используются средние величины: средняя производительность
труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто
требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут
увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если
затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить
невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения
приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.
Следовательно, для их решения необходимо применение методов
дифференциального исчисление.
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по
нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в
картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом
интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и
интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна
которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бульшую
точность.
Пусть Kn - система узловых точек a = x0 < x1 <…< xn = b. Функция Sk(x)
называется сплайн-функцией Sk(x) степени k?0 на Kn, если
а) Sk(x) є Ck-1([a, b])
б) Sk(x) - многочлен степени не большей k
Сплайн-функция ?k(x) є Sk(Kn) называется интерполирующей сплайн-функцией,
если ?k(xj) = f(xj) для j = 0,1,…,n
В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н.
кубическую интерполяцию.
[pic]
Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то
для x є [xj-1 ,xj]
[pic]
[pic]
Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j = 1, 2, …, n
Последние исключаются в силу требования s(xj) = yj:[pic][pic]Дифференцируя
эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в
частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему
уравнений:
[pic]
относительно n+1 неизвестных s20, s21,…, s2n. Для однозначного их
определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:
Нормальный случай(N):
[pic]
Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):
[pic]
Заданное сглаживание на границах:
[pic]
Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.
Функция периодическая, поэтому используем случай P.
|j |xj |yj |hj |yj-yj-1 |
|0 |0 |0 |?/2 |1 |
|1 |?/2 |1 |?/2 |-1 |
|2 |? |0 |?/2 |-1 |
|3 |3?/2 |-1 |?/2 |1 |
|4 |2? |0 | | |
[pic]
Сплайн-функция получается такая:
[pic]
5-2. Формула Тейлора
Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в
данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в
программировании и других дисциплинах
Говорят, что функция разлагается на данном промежутке в степенной ряд,
если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + … + an(x
- a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно
доказать, что это разложение единственно:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида
[pic]
называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности
(x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно,
чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно
называют рядом Маклорена.
С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных
функций:
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] | |
5-3. Приближенные вычисления
Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a,
а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции
затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с
помощью формулы Тейлора:
[pic]
Пример: Извлечь квадратный корень из 3654
Решение: [pic], x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и [pic] при x =
3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:
[pic]
С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для
приближенных вычислений:
|[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |
Производная в школьном курсе алгебры
1. Структура учебников
Колмогоров:
§4. Производная
12. Приращение функции
13. Понятие о производной
14. Понятия о непрерывности и предельном переходе
15. Правила вычисления производных
16. Производная сложной функции
17. Производные тригонометрических функций
§5. Применение непрерывности и производной
18. Применения непрерывности
19. Касательная к графику функции
20. Приближенные вычисления
21. Приоизводная в физике и технике
§6. Применение производной к исследованию функций
22. Признак возрастания (убывания) функции
23. Критические точки функции, максимумы и минимумы
24. Примеры применения производной к исследованию функции
25. Наибольшее и наименьшее значения функции
Алимов:
Глава V. Производная и ее применение
§22. Производная
§23. Производная степенной функции
§24. Правила дифференцирования
§25. Производные некоторых элементарных функций
§26. Геометрический смысл производной
Глава VI. Применение производной к исследованию функций
§27. Возрастание и убывание функции
§28. Экстремумы функции
§29. Применение производной к построению графиков функции
§
| | скачать работу |
Производная в курсе алгебры средней школы |