Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Производная в курсе алгебры средней школы

жки и т. д. Каждый показатель
представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким
образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению
экстремума функции.
По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в
ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по
одному из достаточных условий экстремума:
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0.
Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -,
то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не
меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки
x0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ? 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет
максимум, если f ''(x0) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график
функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на
этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).

Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли
которой может быть смоделирована зависимостью:
                      ?(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
               ?'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 > qextr = 4
               При q < qextr = 4 > ?'(q) < 0 и прибыль убывает
             При q > qextr = 4 > ?'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может
производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) =
p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить,
а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же
фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет
выпуск на пределе своих производственных мощностей.

                          4-2. Эластичность спроса

Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел
                                    [pic]
Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая
эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос
реагирует на изменение цены. Если |ED|>1, то спрос называется эластичным,
если |ED|<1, то неэластичным. В случае ED=0 спрос называется совершенно
неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению
спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя
увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос
является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности
спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на
продукцию.

                           4-3. Предельный анализ

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в
экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов
исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях
объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных
значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная
(в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае
функции нескольких переменных)
В экономике часто используются средние величины: средняя производительность
труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто
требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут
увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если
затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить
невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения
приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект.
Следовательно, для их решения необходимо применение методов
дифференциального исчисление.

                  5. Производная в приближенных вычислениях

                              5-1. Интерполяция

Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по
нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в
картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом
интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и
интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна
которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бульшую
точность.

Пусть Kn - система узловых точек a = x0 < x1 <…< xn  = b. Функция  Sk(x)
называется сплайн-функцией Sk(x) степени k?0 на Kn, если
а) Sk(x) є Ck-1([a, b])
б) Sk(x) - многочлен степени не большей k

Сплайн-функция ?k(x) є Sk(Kn) называется интерполирующей сплайн-функцией,
если ?k(xj) = f(xj) для j = 0,1,…,n

В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н.
кубическую интерполяцию.
[pic]
Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то
для x є [xj-1 ,xj]
                                    [pic]
                                    [pic]
Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j = 1, 2, …, n
Последние исключаются в силу требования s(xj) = yj:[pic][pic]Дифференцируя
эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в
частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему
уравнений:
                                    [pic]
относительно n+1 неизвестных s20, s21,…, s2n. Для однозначного их
определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:

Нормальный случай(N):
                                    [pic]

Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)):
                                    [pic]

Заданное сглаживание на границах:
                                    [pic]

Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4.
Функция периодическая, поэтому используем случай P.
|j    |xj            |yj            |hj            |yj-yj-1       |
|0    |0             |0             |?/2           |1             |
|1    |?/2           |1             |?/2           |-1            |
|2    |?             |0             |?/2           |-1            |
|3    |3?/2          |-1            |?/2           |1             |
|4    |2?            |0             |              |              |

                                    [pic]

Сплайн-функция получается такая:

                                    [pic]

                            5-2. Формула Тейлора

Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в
данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в
программировании и других дисциплинах

Говорят, что функция разлагается на данном  промежутке в степенной ряд,
если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2(x - a)2 + … + an(x
- a)n + …, который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно
доказать, что это разложение единственно:
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
                                    [pic]
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида
                                    [pic]
называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности
(x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно,
чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно
называют рядом Маклорена.

С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных
функций:
|[pic]                           |[pic]                           |
|[pic]                           |[pic]                           |
|[pic]                           |                                |

                        5-3. Приближенные вычисления

Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a,
а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции
затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с
помощью формулы Тейлора:
                                    [pic]

Пример: Извлечь квадратный корень из 3654
Решение: [pic], x0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и [pic] при x =
3600. Формула при a = 3600, b=54 дает:
                                    [pic]
С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для
приближенных вычислений:
|[pic]                |[pic]                |[pic]                |
|[pic]                |[pic]                |[pic]                |

                    Производная в школьном курсе алгебры

                           1. Структура учебников

Колмогоров:
§4. Производная
   12. Приращение функции
   13. Понятие о производной
   14. Понятия о непрерывности и предельном переходе
   15. Правила вычисления производных
   16. Производная сложной функции
   17. Производные тригонометрических функций
§5. Применение непрерывности и производной
   18. Применения непрерывности
   19. Касательная к графику функции
   20. Приближенные вычисления
   21. Приоизводная в физике и технике
§6. Применение производной к исследованию функций
   22. Признак возрастания (убывания) функции
   23. Критические точки функции, максимумы и минимумы
   24. Примеры применения производной к исследованию функции
   25. Наибольшее и наименьшее значения функции

Алимов:
Глава V. Производная и ее применение
   §22. Производная
   §23. Производная степенной функции
   §24. Правила дифференцирования
   §25. Производные некоторых элементарных функций
   §26. Геометрический смысл производной
Глава VI. Применение производной к исследованию функций
   §27. Возрастание и убывание функции
   §28. Экстремумы функции
   §29. Применение производной к построению графиков функции
   §
1234
скачать работу

Производная в курсе алгебры средней школы

 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ