Главная    Почта    Новости    Каталог    Одноклассники    Погода    Работа    Игры     Рефераты     Карты
  
по Казнету new!
по каталогу
в рефератах

Производная в курсе алгебры средней школы



 Другие рефераты
Домбыра, дамуы, жанрлары Проектирование школьного сайта Профессиограмма учителя иностранного языка Профессиональная компетентность и культура педагога

Южно-Сахалинский Государственный Университет
                             Кафедра математики



                               Курсовая работа
               Тема: Производная в курсе алгебры средней школы



|Автор:                                            |Меркулов М. Ю.    |
|Группа:                                           |411               |
|Руководитель:                                     |Чуванова Г. М.    |
|Оценка:                                           |                  |


                               Южно-Сахалинск
                                    2002г
                                  Введение

В первой главе курсовой работы речь пойдет о понятии производной, ее
истории и областях ее применения. Во второй главе будет детально рассмотрен
курс изучения производной трех учебников по алгебре и началам анализа для
10-11кл. : Алимова, Башмакова и под редакцией Колмогорова. Цель курсовой
работы – раскрыть понятие производной, рассмотреть систему ее изучения в
учебниках средней школы, охарактеризовать особенности изложения материала и
дать рекомендации по поводу использования этих учебников.



                         Производная и ее применение


                           1. Понятие производной

                         1-1. Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17
столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского
математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в
ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться
в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого
Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли
Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

                          1-2. Понятие производной

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в
промежутке (a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ?x, тогда функция y = f(x) получит приращение
?y = f(x + ?x) - f(x). Предел, к которому стремится отношение ?y / ?x при
?x > 0, называется производной от функции f(x).
                                 y'(x)=[pic]

            1-3. Правила дифференцирования и таблица производных

|C' = 0               |(xn) = nxn-1      |(sin x)' = cos x       |
|x' = 1               |(1 / x)' = -1 / x2|(cos x)' = -sin x      |
|(Cu)'=Cu'            |(?x)' = 1 / 2?x   |(tg x)' = 1 / cos2 x   |
|(uv)' = u'v + uv'    |(ax)' = ax ln x   |(ctg x)' = 1 / sin2 x  |
|(u / v)'=(u'v - uv') |(ex)' = ex        |(arcsin x)' = 1 / ? (1-|
|/ v2                 |                  |x2)                    |
|                     |(logax)' = (logae)|(arccos x)' = -1 / ?   |
|                     |/ x               |(1- x2)                |
|                     |(ln x)' = 1 / x   |(arctg x)' = 1 / ? (1+ |
|                     |                  |x2)                    |
|                     |                  |(arcctg x)' = -1 / ?   |
|                     |                  |(1+ x2)                |

                     2. Геометрический смысл производной

                          2-1. Касательная к кривой

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к
точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN,
если точку N неограниченно приближать по кривой к M.

Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При
некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на
кривой соответствует точка M(x0, y0). Введем новый аргумент x0 + ?x, его
значению соответствует значение функции  y0 + ?y = f(x0 + ?x).
Соответствующая точка - N(x0 + ?x, y0 + ?y). Проведем секущую MN и
обозначим ? угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox.
Из рисунка видно, что ?y / ?x = tg ?. Если теперь ?x будет приближаться к
0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться
вокруг точки M, а угол ? - меняться. Если при ?x > 0 угол ? стремится к
некоторому ?, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным
направлением оси абсцисс угол ?, будет искомой касательной. При этом, ее
угловой коэффициент:
                                    [pic]
То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно
тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox
касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)).

Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное
определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция
задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут
равны частным производным f по x и y.

                  2-2. Касательная плоскость к поверхности

Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость,
содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности,
проходящим через M - точку касания.

Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо
обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности
некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями
                        x = ?(t); y = ?(t); z = ?(t).
Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в
тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство
инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение
по t:
                                    [pic]
Уравнения касательной  к кривой L в точке M имеют вид:
                                    [pic]
Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим
дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так:
                  F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0
и для частного случая z = f(x, y):
                     Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0)
Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a)
гиперболического параболоида
                                    [pic]
Решение:
                     Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1
Уравнение искомой плоскости:
            Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a

                    3. Использование производной в физике

                      3-1. Скорость материальной точки

Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении
материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент
времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ?t = t - t0 и
вычислим приращение пути: ?s = f(t0 + ?t) - f(t0). Отношение ?s / ?t
называют средней скоростью движения за время ?t, протекшее от исходного
момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ?t > 0.

Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ?t) - это
величина =?v / ?t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент
времени t будет предел среднего ускорения:
                                    [pic]
То есть первая производная по времени (v'(t)).

Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s
= A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2). Определить время после
начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2.

Решение:
  v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2;    a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t =
                                     2;
                          1,8 =  0,18t;    t = 10 c

              3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре

Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 -
T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q,
причем отношение
                                    [pic]
для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного
вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q =
f(T). Тогда ?Q = f(t + ?T) - f(T). Отношение
                                    [pic]
называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ?T], а предел этого
выражения при ?T > 0 называется теплоемкостью данного вещества при
температуре T.

                                3-3. Мощность

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на
него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс
обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится
понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы,
вводят понятие мощности:[pic].

                 4. Дифференциальное исчисление в экономике

                          4-1. Исследование функций

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа
математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является
изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком
направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при
введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при
повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное
оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных
задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных,
которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В
экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение
показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль,
максимальный выпуск, минимальные издер
1234
скачать работу


 Другие рефераты
Политический портрет Н.С. Хрущева
Диагностика стратегии предприятия
Научная методология Ф.Бэкона
Религия Японии


 

Отправка СМС бесплатно

На правах рекламы


ZERO.kz
 
Модератор сайта RESURS.KZ